📘 Números Enteros: Operaciones y Ejercicios Resueltos ✏️

Índice

1 Introducción
2 Conceptos básicos: ¿Qué son los números enteros?
3 Operaciones básicas con números enteros
4 Potencias de números enteros
5 Recursos gratis
6 Resumen final

Introducción

Los números enteros son mucho más comunes de lo que pensamos. Los utilizamos todos y cada uno de los días: medir temperaturas, saldos en cuentas bancarias, evolución del número de seguidores en Instagram, YouTube o Facebook, etcétera.

No pretendo que esta entrada sea exhaustiva sobre los números enteros si no más bien un pequeño recordatorio e índice que puedas usar para enlazar con otras entradas donde desarrollo todos los conceptos que te propongo aquí de forma mucho más exhaustiva.

En primer lugar te debo decir que si tu interés es la construcción formal de los números enteros, debes visitar esta entrada. Se trata de una entrada técnica donde te explico cómo aparecen los números enteros, $\mathbb{Z}$ , como consecuencia del conjunto cociente de una clase de equivalencia a partir de los naturales (si te estás preparando oposiciones, a lo mejor te resulta bastante útil).

Por lo que respecta a esta entrada, te contaré:

Cómo se representan los números enteros en la recta real,
Cuáles son las operaciones básicas con números enteros: suma, resta, producto, cociente.
Propiedades de las potencias de números enteros.

Por supuesto, al final te daré alguna documentación que puede resultarte útil: una serie de ejercicios resueltos y propuestos y te daré un enlace a mi plataforma de formación.

Conceptos básicos: ¿Qué son los números enteros?

Los números enteros incluyen tanto los números positivos (que llamamos números naturales) y también los negativos. Por supuesto, el cero es un número entero.

Los podemos representar de varias maneras.

La letra que los representa en el mundo de las matemáticas es $\mathbb{Z}$ Por lo visto la palabra alemana zahl significa número y de ahí viene el tomar esta letra.
También se pueden representar en una recta numérica (en realidad, todos los números con los que vas a trabajar en tu etapa escolar se pueden representar sobre una recta numérica, a excepción de los números complejos que representan el plano).
Otra forma de representarlos es mediante una enumeración, pero esto no te lo recomiendo porque son infinitos y nunca acabarías de escribirlos todos:
$\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$

Números enteros y recta numérica

Una manera sencilla, intuitiva y, en mi opinión, eficaz de representar los números enteros es sobre la recta numérica. Para ello sigue las siguientes instrucciones:

Dibuja una recta horizontal.
Aproximadamente a la mitad de lo que has dibujado marca un punto. Será el 0.
Marca ahora otro punto a la derecha del 0 a una distancia que te resulte cómoda. Ése va a ser el 1, y la distancia al 0 será nuestra unidad.
Ahora lleva esa distancia más veces hacia la derecha. Así marcarás el 2, 3,…
Por último lleva tu distancia unidad hacia la izquierda del 0 y así conseguirás marcar el -1, -2, -3,…

Imagen generada con la ayuda de ChatGPT, un modelo de inteligencia artificial desarrollado por OpenAI.
Imagen con fines ilustrativos.

Consideraciones:

Dibujar así la recta numérica es una forma sencilla de darse cuenta de lo siguiente:

Los números positivos están a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda.
Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
La distancia entre una marca de un número (imagínate el 3 o el -3) hasta el 0 se denomina valor absoluto. Por ejemplo, tanto el 3 como el -3 están a una distancia igual del 0. Eso se representa de la siguiente manera:
$|-3|=|3|=3$

Operaciones básicas con números enteros

Tengo dos entradas donde te explico pormenorizadamente las diferentes operaciones: en la primera te explico la suma y la resta de enteros y en la segunda te explico la multiplicación la división de enteros. Como ya te he dicho antes, en esta entrada sólo vamos a ver un resumen.

Suma de números enteros

La receta (reglilla) que verás en muchos sitios es la siguiente:

Si los números tienen el mismo signo, sumamos sus valores absolutos y mantenemos el signo.
Si tienen signos diferentes, restamos sus valores absolutos y el resultado toma el signo del número mayor (en valor absoluto).

Ejemplo:

$(+5)+(+3)=+8$

Ejemplo:

$(+7)+(−4)=+3$

Crítica a esta forma de operar:

Esta forma de sumar/restar números enteros me parece un error (así, sin medias tintas).

Es verdad que es una forma que los alumnos comprenden bien al principio. Y parece que funciona.

El problema está cuando en 1ESO les ponemos una operación como la siguiente:

$-5+3-7+1$

Y no es de las operaciones más complejas que se piden, porque luego hay que añadir paréntesis.

¿Cuál es el número que resta? ¿y el que suma? ¿Qué signo conservo? No puedes ni imaginarte cuanta gente opera incorrectamente (muy incorrectamente, de hecho) una operación tan elemental como esa.

Pero no lo voy a criticar sin dar una opción:

A mi me gusta hablar de dinero (materialista que es uno ) y digo cuando un número es positivo es que tienes ese dinero (así 3 o +3 significa tengo 3€) y cuando es negativo significa que debes ese dinero (así -3 significa debo 3€).

De esta manera puedes crear una historia en tu cabeza con la operación anterior:

$-5+3-7+1$

Te debo 5 euros pero tengo 3€ en el bolsillo así que te los doy y te debo solo 2€
Como te debo 2€y además tengo otra deuda de 7€, en total, debo 9€.
Como debo 9€ pero me he encontrado 1€ en el bolsillo/calle/zapato…saldo parte de mi deuda y sólo debo 8€
Así la solución es $-8$

Ejemplo paso a paso:

Otra forma de operar es «agrupar» los números positivos por un lado y los negativos por otro. Da igual de qué manera lo hagas, siempre que no te equivoques, claro.

$-7 + 5 - 3 + 6 =$

Paso a Paso:

Agrupa los números positivos y negativos:
- Números positivos: $5 + 6 = 11$
- Números negativos: $-7 - 3 = -10$
Suma los resultados agrupados:
- $11 + (-10) = 1$

Resultado:

$-7 + 5 - 3 + 6 = 1$

Imagen generada con la ayuda de ChatGPT, un modelo de inteligencia artificial desarrollado por OpenAI.
Imagen con fines ilustrativos.

Resta de números enteros

Restar un número es sumar su opuesto ( $a - b= a+(-b)$ ) así que así hemos conseguido «transformar» la resta en una suma:

Ejemplo:

$(+6)−(−2)=(+6)+(+2)=+8$

Ejemplo:

$-(-3)+(-5)= +(+3)+(-5)=-2$

Ejemplo paso a paso:

$8 - (-4) - 7$

Paso a Paso:

Recuerda que restar un número equivale a sumar su opuesto:
- $8 - (-4) = 8 + 4 = 12$
Realiza la operación que queda:
- $12 - 7 = 5$

Resultado:

$8 - (-4) - 7 = 5$

Producto de números enteros (multiplicación)

Lo primero que debes tener en cuenta es la regla de los signos que se resume en la siguiente tabla:

	+	–
+	+	–
–	–	+

Regla de los signos

De esta manera, lo primero que debes operar son los signos. Si son iguales, el resultado será positivo; y si son diferentes, el resultado será negativo. Una vez resuelto el signo, debes operar los números:

Ejemplo:

$4\cdot 5 =20$

$-4\cdot 5 =-20$

$4\cdot (-5) =-20$

$-4\cdot (-5) =20$

Como puedes ver te he puesto casi la misma operación en sus cuatro versiones (he usado los mismos número pero con signo diferente y todas las posibles combinaciones). Debes darte cuenta cómo el resultado es negativo sólo si los signos de los factores son distintos.

Imagen generada con la ayuda de ChatGPT, un modelo de inteligencia artificial desarrollado por OpenAI.
Imagen con fines ilustrativos.

Ejemplo paso a paso:

$(-3) \cdot 4 \cdot (-2)$

Paso a Paso:

Aplica la regla de los signos:
- $(-3) \cdot 4 = -12$ (un signo negativo).
- $-12 \cdot (-2) = 24$ (dos signos negativos resultan en positivo).
Multiplica los valores absolutos:
- $3 \cdot 4 = 12$ , luego $12 \cdot 2 = 24$

Resultado:

$(-3) \cdot 4 \cdot (-2) = 24$

Cociente de números enteros (división)

La división de números enteros se realiza igual que el producto. De hecho, la tabla de los signos que te he puesto para el producto es la misma. Esto es así, porque dividir es multiplicar por el inverso.

Así que primero debes tener en cuenta los signos de los números y operarlos y después debes operar los números en sí.

Importante:

Sólo se pueden dividir números tales que el dividendo sea múltiplo del divisor, en caso contrario estaríamos trabajando con números racionales.

$(+12)\div (−3)=−4$

Es posible porque el dividendo (12) es múltiplo del divisor (-3) pero en el siguiente ejemplo, el resultado no sería un número entero (es lo que significa $\notin \mathbb{Z}$ ) si no racional:

$-3 \div 12 \notin \mathbb{Z}$

Ejemplo paso a paso:

$(-18) \div 3 \div (-2)$

Paso a Paso:

Aplica la regla de los signos:
- $(-18) \div 3 = -6$ (un signo negativo).
- $-6 \div (-2) = 3$ (dos signos negativos resultan en positivo).
Divide los valores absolutos:
- $18 \div 3 = 6$ , luego $6 \div 2 = 3$ .

Resultado:

$(-18) \div 3 \div (-2) = 3$

Potencias de números enteros

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación. Así:

$3^4= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

Como esta entrada es un resumen de lo que te he ido diciendo en otros sitios del blog donde te he explicado las potencias, vamos a pasar directamente a las propiedades de las potencias que tienen que ver con los números enteros. He incluido algunas que tienen que ver con números racionales pero no he incluido las potencias de exponente fraccionario, porque considero que sí están completamente fuera del nivel que quiero dar a esta entrada:

Propiedades

Producto de potencias con la misma base

En este caso se conserva la base y se suman los exponentes:

$3^4 \cdot 3^5 = 3^9$

Esto se debe a que la potencia es una «multiplicación abreviada». El ejemplo anterior es:

${\color{red} 3^4} \cdot {\color{blue} 3^5}= {\color{red} 3 \cdot 3\cdot 3\cdot 3} \cdot {\color{blue} 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3} =3^9$

Potencia de un producto

Cuando tienes un producto elevado a un exponente, puedes multiplicar los factores elevados a ese exponente:

$\left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot b^n$

Ejemplo: $(4 \cdot 5 )^3 = 4^3 \cdot 5^3 = 8000$

Esta propiedad es bastante útil si quieres simplificar cálculos. El ejemplo anterior es demasiado académico, pero imagina que te pido que operes $4^3 \cdot 5^3$ . Si te das cuenta que es un producto de potencias con el mismo exponente puedes operar de la siguiente manera:

$4^3 \cdot 5^3 = (4\cdot 5)^3= 20^3 =8000$

Esto es mucho más fácil que multiplicar $64\cdot 125$ .

Cociente de potencias con la misma base

Cuando dividimos dos potencias que tienen la misma base, podemos conservar la base y restar los exponentes: $\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad \text{si } a \neq 0.$

Ejemplo: $\displaystyle \frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27$

Esta propiedad es especialmente útil para simplificar fracciones que contienen potencias.

Potencia de una potencia

Cuando tengas una potencia elevada a otra potencia, conserva la base y multiplica los exponentes:

$\left( 4^3 \right) ^2= 2^{6}$

Esto vuelve a deberse a que la potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación:

$\left( 4^3 \right) ^2 ={\color{red} 4^3}\cdot {\color{blue} 4^3} ={\color{red} 4 \cdot 4 \cdot 4}\cdot {\color{blue} 4 \cdot 4 \cdot 4} = 4^6$

Potencia de un cociente

Si tenemos un cociente elevado a una potencia, el exponente se aplica tanto al numerador como al denominador: $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \quad \text{si } b \neq 0$

Ejemplo: $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

Esta regla es una extensión de la propiedad «potencia de un producto». De hecho es la misma propiedad, sin más que entender la división como la multiplicación por el inverso, o si lo prefieres, darte cuenta que, por ejemplo, $\displaystyle \frac{8}{3} = 8\cdot \frac{1}{3}$

Potencia de exponente negativo

Un exponente negativo indica el inverso de la base elevada al exponente positivo: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad \text{si } a \neq 0$ .

Ejemplo: $\displaystyle 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Nota: Esta propiedad muestra cómo los exponentes negativos convierten las potencias en fracciones. Es una de las propiedades que a mi me resultan más útiles. ¡¡No te olvides de ella!!

Potencia de exponente 0

Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a 1, siempre que la base no sea 0: $a^0 = 1, \quad \text{si } a \neq 0$

Ejemplo: $5^0 = 1, \quad (-7)^0 = 1$

Este caso se aplica con frecuencia para simplificar expresiones complejas.

Potencia de base 1

Cualquier potencia con base 1 es igual a 1, sin importar el valor del exponente: $1^n = 1, \quad \text{para todo } n.$

Ejemplo: $1^{1000} = 1$

Es una de las propiedades más sencillas, pero esencial para operaciones con potencias.

Potencia de base 0

Cuando la base es 0 y el exponente es positivo, el resultado siempre será 0: $0^n = 0, \text{ para todo } n > 0$

Ejemplo: $0^5 = 0$

Nota importante: $0^0$ es un caso especial y no se define de forma consistente en matemáticas escolares. Generalmente, se considera como una expresión indeterminada. Cuando llegues a bachillerato y estudies un concepto matemático denominado límite de una función verás alguna manera de interpretar $0^0$ . De momento, quédate con el hecho de que si, desde 1ESO hasta 4ESO, en un problema te aparece esta expresión hay dos opciones:

Te has equivocado al resolverlo: el 95% de las veces.
El problema tiene algún error: el 5% de las veces (sí, todos nos equivocamos )

Potencia de exponente 1

Cualquier número elevado a la potencia 1 es el propio número: $a^1 = a$

Ejemplo: $4^1 = 4, \quad (-3)^1 = -3$

Esta propiedad es útil para recordar que los números sin exponente explícito tienen un exponente implícito de 1.

Recursos gratis

A continuación te dejo alguna documentación que creo que te puede ser útil.

Ejemplo paso a paso sobre potencias:

Producto de potencias con la misma base: Resolver
- $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$
Cociente de potencias con la misma base: Resolver
- $5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 = 625$
Potencia de una potencia: Resolver
- $\left( 3^2 \right)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729$
Potencia de un cociente: Resolver
- $\displaystyle \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$

Intenta resolver los siguientes ejercicios

Puedes descargar las soluciones aquí.

Listado de Ejercicios para Resolver

A continuación te dejo una serie de ejercicios por si quieres probar a resolverlos tú.

Suma y Resta

$-5 + 7 - 4 + (-3)$
$10 - (-8) + (-12) + 6$
$-15 + (-5) - 10 + 20$
$4 - 7 + (-3) + (-9)$

Multiplicación

$(-3) \cdot (-5) \cdot 2$
$7 \cdot (-4) \cdot (-2)$
$(-6) \cdot (-2) \cdot (-3)$
$5 \cdot (-1) \cdot 0$

División

$(-12) \div 4 \div (-3)$
$18 \div (-3) \div 2$
$(-24) \div (-6) \div 2$
$30 \div (-5) \div (-2)$

Potencias

$3^2 \cdot 3^3$
$5^4 \div 5^2$
$\left( 2^3 \right)^2$
$\left( \frac{5}{2} \right)^3$

soluciones en LaTeX

% Suma y resta
\[
1. -5 + 7 - 4 + (-3) = -5 + 7 - 4 - 3 = -5 + 4 = -1
\]
\[
2. 10 - (-8) + (-12) + 6 = 10 + 8 - 12 + 6 = 18 - 12 + 6 = 6 + 6 = 12
\]
\[
3. -15 + (-5) - 10 + 20 = -15 - 5 - 10 + 20 = -30 + 20 = -10
\]
\[
4. 4 - 7 + (-3) + (-9) = 4 - 7 - 3 - 9 = -3 - 12 = -15
\]

% Multiplicación
\[
1. (-3) \cdot (-5) \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30
\]
\[
2. 7 \cdot (-4) \cdot (-2) = -28 \cdot -2 = 56
\]
\[
3. (-6) \cdot (-2) \cdot (-3) = 12 \cdot -3 = -36
\]
\[
4. 5 \cdot (-1) \cdot 0 = 0
\]

% División
\[
1. (-12) \div 4 \div (-3) = -3 \div -3 = 1
\]
\[
2. 18 \div (-3) \div 2 = -6 \div 2 = -3
\]
\[
3. (-24) \div (-6) \div 2 = 4 \div 2 = 2
\]
\[
4. 30 \div (-5) \div (-2) = -6 \div -2 = 3
\]

% Potencias
\[
1. 3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 = 243
\]
\[
2. 5^4 \div 5^2 = 5^{4-2} = 5^2 = 25
\]
\[
3. \left( 2^3 \right)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64
\]
\[
4. \left( \frac{5}{2} \right)^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}
\]

Vídeos

Aquí te dejo un enlace a vídeos de mi canal de YouTube donde explico estos conceptos:

[[PROXIMAMENTE]]

Suma y resta de enteros
Producto de números enteros
División de números enteros
Potencias de números enteros
Jerarquía de operaciones

Resumen final

En esta entrada hemos repasado los conceptos básicos de los números enteros, su representación y las operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división.

También te he contado algunas cuestione sobre las potencias, la importancia de las reglas de los signos y las propiedades asociadas a estas operaciones. Aprendimos cómo aplicar estas reglas con ejemplos prácticos y cómo trabajar con números positivos y negativos en diferentes contextos cotidianos.

Espero que con este resumen seas capaz de enfrentarte a los ejercicios más complejos que te pone tu profe (que no te tiene manía).

No olvides que este tema conecta con otros como los números naturales, las fracciones, los números racionales, la proporcionalidad (directa, inversa o compuesta) o cualquier tema sobre álgebra.

Espero que todo esto te sirva para superar tu asignatura.

📘 Números Enteros: Operaciones y Ejercicios Resueltos ✏️

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