Sistemas y bases de numeración

Introducción

Todos los años, cuando empiezo el curso en 1ESO y 2ESO hay un día que hablo de los sistemas de numeración (aquí lo que pone Wikipedia).

Pero en esta entrada no te voy a contar lo que cuento en 1/2ESO. Eso lo puedes consultar aquí. Hoy te voy a contar cosas un poco diferentes.

Imagen generada con la ayuda de ChatGPT, un modelo de inteligencia artificial desarrollado por OpenAI. Imagen con fines ilustrativos

Índice

1 Introducción
2 Teorema Fundamental de Representación en Bases
3 Ejemplos prácticos de conversión entre bases
4 ¿Qué ocurre con los números racionales?
5 Relación con el Teorema Fundamental de la Aritmética
6 Otras consideraciones
7 Recursos:
8 Conclusión
9 Otras lecturas

Si te digo que los sistemas de numeración son esenciales en matemáticas, ciencia, e incluso en la vida cotidiana; y que nos permiten representar cantidades, realizar cálculos y entender el mundo que nos rodea; no te estoy diciendo gran cosa. Voy a aprovechar esta entrada para contarte un par de teoremas muy importantes que usamos todos los días sin darnos cuenta: uno de ellos es el Teorema Fundamental de Representación en Bases y el otro es el Teorema Fundamental de la Aritmética.

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¿Qué es un Sistema de Numeración?

Antes de nada quiero recordarte qué es un sistema de numeración. Se trata de un conjunto de reglas que utilizamos para representar los números mediante una serie de símbolos (guarismos) en una base determinada.

En nuestro caso, el sistema de numeración que usamos es el decimal y posicional:

Que sea decimal significa que las unidades se agrupan de 10 en 10 para formar unidades de segundo orden denominadas decenas; éstas, a su vez, se agrupan en centenas, y así sucesivamente.
Por otro lado que sea posicional nos indica que el valor de un dígito depende del lugar que ocupa en el número en cuestión: el 3 de 315 significa tres centenas, mientras que en 135 significa tres decenas.

No existe ninguna razón para que debamos limitarnos al empleo de las potencias de 10 para escribir números. Los babilonios usaban potencias de 60, los mayas de 20 y actualmente los ordenadores trabajan con potencias de 2, 8, 16 (aquí una entrada sobre la historia de los sistemas de numeración).

Teorema Fundamental de Representación en Bases

Enunciado:

El teorema fundamental de representación de bases expone:

Cualquier número natural $n$ puede expresarse de manera única en una base de numeración $b\geq2$ como:

$n = a_kb^k + a_{k-1}b^{k-1} + \cdots + a_1b + a_0$

Demostración:

Primero demostraremos la existencia de esa representación y luego demostraremos la unicidad.

Existencia de la representación:

Si recuerdas la división euclídea (con resto) podemos escribir lo siguiente (con $n$ el número; $b$ la base de numeración; $m_i$ cocientes de las divisiones y $a_i$ los restos de las divisiones)

$\begin{tabular}{lll} $n$ &$=$ & $ m_1 b+a_0 \qquad \text{con $0\leq a_0< b$}$\\ $m_1 &$=$ & $m_2 b+a_1$\\ $m_2 &$=$ & $m_3 b +a_2$\end{tabular}$

de tal manera que al final tenemos $n>m_1>m_2>m_3\cdots$ y por el principio de buena ordenación (PBO) existe $m_k =0b+a_k$

Si ahora reescribimos $n$ tenemos:

$n=m_1b+a_0= (m_2b+a_1)b+a_0= \cdots$

$n= a_kb^k + a_{k-1}b^{k-1} + \cdots + a_1b + a_0$

Veamos la unicidad:

Supongamos que existen dos representaciones diferentes para $n$ que son

$n = a_kb^k + a_{k-1}b^{k-1} + \cdots + a_1b + a_0$

$n = c_kb^k + c_{k-1}b^{k-1} + \cdots + c_1b + c_0$

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad que la longitud de los desarrollos es la misma. En caso contrario bastaría con consigar coeficientes iguales a $0$ : $a_i=0$ o $c_i=0$

Si restamos ambas representaciones, obtenemos:

$0=\left(a_k-c_k\right)b^k+\left(a_{k-1}-c_{k-1}\right)b^{k-1}+\cdots+\left(a_1-c_1\right)b^1+\left(a_0-c_0\right)$

Y como resulta que $b|0$ entonces $b$ tiene que dividir a la parte derecha de la igualdad y en especial al sumando $a_0-c_0$ ; y puesto que ambos números son menores de $b$ tiene que ocurrir que:

$a_0-c_0=0 \Leftrightarrow a_0=c_0$

Por lo que procedemos a «eliminar» este sumando.

Ahora dividiendo todo entre $b$ obtenemos:

$0=\left(a_k-c_k\right)b^{k-1}+\left(a_{k-1}-c_{k-1}\right)b^{k-2}+\cdots+\left(a_2-c_2\right)b^1+\left(a_1-c_1\right)$

Y realizamos la misma argumentación, de tal manera que en cada paso vamos identificando cada uno de los coeficientes $a_i$ con $c_i$ y así llegamos a la conclusión de que $a_i=c_i$ .

Por lo que la representación es única.

Ejemplos prácticos de conversión entre bases

Este teorema nos permite representar cualquier número en cualquier base como te muestro en los siguientes ejemplos:

Cambio de base decimal a otra base

Ejemplo: representar $123$ en base $5$

Vamos a ir dividiendo sucesivamente:

$127 = 25\cdot 5+2$

$20= 5\cdot 5+0$

$5= 1\cdot 5+0$

Luego tenemos que en base 5 es:

$127_{10} = 1002_5$

Ejemplo: Representar $37$ en base $2$

$37 = 18\cdot 2+ 1$

$18= 9\cdot 2 + 0$

$9= 4\cdot 2 +1$

$4 = 2\cdot 2 +0$

$2= 1\cdot 2 + 0$

Luego tenemos que:

$37_{10}= 100101_2$

Cambio de otra base a decimal

En los siguientes dos ejemplos vamos a hacer el proceso inverso, es decir vamos a transformar un número escrito en una base $b$ a la base $10$ . En este caso debemos tener en cuenta la descomposición polinómica del número

Ejemplo: Transforma $3201_4$ a base $10$

Como la base $b=4$ , tenemos que $3201_4$ es:

$3201_4=3\cdot 4^3+2\cdot 4^2+0\cdot 4^1 + 1\cdot 4^0=225_{10}$

Ejemplo: Transforma $542_9$ a en base $10$

En este caso la base es $b=9$ lo que significa:

$542_9= 5\cdot 9^2 + 4\cdot 9^1+ 2\cdot 9^0 =443_{10}$

¿Qué ocurre con los números racionales?

Pues los números racionales también se pueden representar en distintas bases de numeración, como ya te puedes imaginar.
Primero voy a darte un ejemplo y luego ya te lo digo de manera más formal:

Supón que queremos escribir $0, 45$ en este caso y como nuestro sistema es posicional tenemos:

$0,45= 0\cdot 10^0 + 4\cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2}$

Es decir que cuando escribimos la coma, lo único que hacemos es separar las potencias de la base de numeración con exponente positivo o cero de las que tienen exponente negativos.

Ejemplos prácticos

Vamos ahora a representar varias fracción en otra base de numeración.

Ejemplo 1: Representar $\displaystyle \frac{2}{3}$ en base $9$

En primer lugar escribimos lo siguiente:

$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 9}{3\cdot 9}$

Ahora trabajamos en el numerador, dividiéndolo entre nuestro denominador original ( $3$ ):

$2\cdot 9= 18 = 3\cdot 6 + 0$

Es importante que marques el 0 de resto (aunque sea 0). Ahora sustituímos en nuetro numerador:

$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 9}{3\cdot 9}=\frac{3\cdot 6 + 0}{3\cdot 9} =\frac{3\cdot 6}{3\cdot 9}+\frac{0}{3\cdot 9}$

Luego, tenemos que

$\frac{2}{3}_{\{\text{base 10}\}}=6\cdot 9^{-1}_{\{\text{base 9}\}} + 0 =0,6_{\{\text{base 9}\}}$

Ejemplo 3: Representar $\displaystyle \frac{3}{4}$ en base $5$

Vamos a hacer lo mismo que antes:

$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}$

Y dividiendo el «nuevo» numerador entre 4:

$3\cdot 5= 15 = 3\cdot 4 +3$

Ahora vamos a ir sustituyendo:

$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{3\cdot 4 +3}{4\cdot 5} =3\cdot 5^{-1} +\frac{3}{4\cdot 5}$

Si repetimos el proceso en la última fracción $\frac{3}{4\cdot 5}$ obtenemos que:

$\frac{3}{4}=3\cdot 5^{-1} +\frac{3}{4\cdot 5}= 3\cdot 5^{-1} +3\cdot 5^{-2} +\frac{3}{4\cdot 5}=\ldots$

Luego tenemos que:

$\frac{3}{4}_{\{\text{base 10}\}}=3\cdot 5^{-1} +3\cdot 5^{-2} + \cdots _{\{\text{base 5}\}} =0,33\ldots_{\{\text{base 5}\}}$

Ejemplo 2: Representar $\displaystyle \frac{3}{4}$ en base $6$

Ahora ya podemos ir más rápido:

$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 6}{4\cdot 6}= \frac{4 \cdot 4+ 2}{4\cdot 6}= 4\cdot 6^{-1} +\frac{2}{4\cdot 6}$

Si ahora trabajas en la última fracción tienes que

$\frac{2}{4\cdot 6}= \frac{4\cdot 3+0}{4\cdot 6\cdot 6}= 3\cdot 6^{-2}+0$

Es decir que nuestra fracción original es:

$\frac{3}{4}_{\{\text{base 10}\}}= 0, 43_{\{\text{base 6}\}}$

Pongamos algo de rigor

Sea una base de numeración $b$ y $M/N$ una fracción irreducible con $M<N$

$\frac{M}{N}=\frac{M\cdot b}{N\cdot b}$

y por el algoritmo de la división obtenemos que $M\cdot b=q_{-1}\cdot N+r_{-1}$ por lo que

$\frac{M}{N}=\frac{q_{-1}\cdot N+r_{-1}}{N\cdot b}=q_{-1}\cdot b^{-1}+\frac{r_{-1}}{N\cdot b}$

repitiendo el procedimiento con $r_{-1}/(N\cdot b)$ llegamos a:

$\frac{M}{N}=q_{-1}\cdot b^{-1}+q_{-2}\cdot b^{-2}+\frac{r_{-2}}{N\cdot b^2}$

El proceso se repite hasta que $r_{-k}=0$ o hasta que $r_{-k}=r_{-j}$ con $j<k$ . En el primer caso el número de cifras decimales es finito, mientras que en el segundo caso el número de cifras decimales es infinito, aunque éstas se repiten periódicamente.

Relación con el Teorema Fundamental de la Aritmética

Enunciado:

El teorema fundamental de la aritmética establece que:

Cualquier número entero $n>1$ puede descomponerse de manera única como producto de números primos, salvo el orden de los factores.

Antes de empezar la demostración, quizá te apetezca leer esta entrada, puesto que vamos a usar resultados que te explico allí.

Demostración:

Sea $m$ un número entero con $m>1$ . Si es primo. El teorema está demostrado.

Supongamos que $m$ no es primo. Entonces habrá un número primo $p_1$ qeu lo divida y tendremos $m=p_1\cdot a$ , donde $p_1, a <m$ . Si $a$ es primo el teorema está demostrado.

Supongamos que $a$ no es primo, entonces se podrá descomponer como $a=p_2\cdot b$ y por tanto $m=p_1\cdot p_2\cdot b$ con $p_1, p_2, b <m$ . Y quedaría por ver si $b$ es primo o no. En caso de serlo, el teorema está demostrado, en caso contrario seguimos con el mismo razonamiento.

Debido al principio de buen orden y de que $m>1$ al final obtenemos una sucesión de números primos $m>p_1>p_2>\cdots >p_n>1$ que es finita por lo que que tenemos que

$m=p_1\cdot p_2 \cdots p_n$

Y el teorema está demostrado.

Orden en los facotres:

Debido a que el producto es conmutativo y en $\mathbb{Z}$ podemos ordenar los factores primos de la descomposición del número $m$ de la manera que deseemos y siempre será una descomposición válida de $m$ .

Esto significa que no hay dos números diferentes que compartan exactamente los mismos factores primos en la misma potencia.

Imagen generada con la ayuda de ChatGPT, un modelo de inteligencia artificial desarrollado por OpenAI. Imagen con fines ilustrativos

Ejemplo: Descomposición en Factores Primos

$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$
$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

Este teorema, junto con el teorema fundamental de representación en bases y los sistemas de numeración garantizan:

Que la representación de un número en una base determinada $b$ de numeración es siempre única.
Que la descomposición en factores primos es única.

Relación con los sistemas de numeración:

Unicidad estructural: En un sistema de numeración posicional como el nuestro, el lugar que ocupa un dígito determina su valor.
Aplicaciones prácticas: Cuando representamos un número en cierta base de numeración, los factores primos son los que nos permiten utilizar los algoritmos de conversión y también los diferentes criterios de divisibilidad.

Otras consideraciones

Para acabar la entrada, me gustaría hablarte de algunas otras cuestiones relacionadas con los sistemas y bases de numeración. Todo lo que te voy a contar puedes considerarlo lemas o corolarios de lo que he estado hablando hasta el momento.

Qué significan los ceros al final de un número:

Dada una base $b$ y $n \in \mathbb{N}$ escrito $n=a_ka_{k-1}\cdots a_2a_1a_0$ en la base $b$ , entonces $nb^j$ (producto de $n$ por cierta potencia de $b$ ) se escribe añadiendo $j$ ceros a la derecha de $n$ :

$nb^j=n_pn_{p-1}\cdots n_2n_1n_0\overbrace{0\cdots 0}^{\text{ j ceros}}$

Entre qué potencias de $b$ se sitúa $n$ :

Dado $n \in \mathbb{N}$ , $b\in \mathbb{N}$ , si la escritura de $n$ en la base $b$ está formada por $p$ cifras, entonces $n$ está comprendido entre $b^{p-1}$ y $b^p$ . La implicación recíproca también es cierta.

Demostración:

Directo:

Escribiendo $n$ en forma polinómica tenemos:

$a_{p-1}b^{p-1}+a_{p-2}b^{p-2}+\cdots+a_2b^2+a_1b^1+a_0 \geq b^{p-1}$

Hay que probar que $n<b^p$ : como $a_i<b\Rightarrow a_1b+a_0<a_1b+b=(a_1+1)b<b^2$ ;

$a_2b^2+a_1b+a_0<a_2b^2+b^2=(a_2+1)b^2\leq b^3$

y así sucesivamente, de forma que al final tenemos que:

$n=a_{p-1}b^{p-1}+a_{p-2}b^{p-2}+\cdots+a_2b^2+a_1b^1+a_0 <a_{p-1}b^{p-1}+b^{p-1}= (a_{p-1}+1)b^{p-1}\leq b^p$

Inverso:

Suponemos que $b^{p-1} \leq n<b^p$ , y suponemos que $n$ no tuviese $p$ cifras.

Caso 1: Supongamos que $n$ tiene $p-1$ cifras pero entonces debería ser $b^{p-2} \leq n < b^{p-1}$ (por hipótesis)
Caso 2: Suponemos que $n$ tiene $p+1$ cifras ya que $b^p\leq n< b^{p+1}$

Por tanto $n$ no puede tener ni menos ni más de $p$ cifras, por lo que, entonces, tendrá exactamente $p$ cifras.

¿Cual de los dos números es mayor que otro: $m$ o $n$ ?

$m,n \in \mathbb{N}$ que tienen $p, q$ cifras respectivamente al escribirlos en una cierta base $b$ , entonces si $p<q\rightarrow m<n$ .

$m, n \in \mathbb{N}$ con igual número de cifras $k$ al expresarlos en una cierta base $b$ , entonces si $m<n\leftrightarrow m_k<n_k$

Ejemplos Prácticos

Cambio de Base Decimal a Binario:
- Número: $25$ ,
- Resultado: $25 = 11001_2$
Cambio de Base Decimal a Hexadecimal:
- Número: $255$ ,
- Proceso: $255 \div 16 = 15$ , resto $15$ ( $F$ en hexadecimal),
- Resultado: $225=FF_{16}$
Uso del Teorema Fundamental de la Aritmética:
- Descompón $210$ en factores primos: $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ .

Recursos:

Ejercicios propuestos

Representa $453$ en base $5$ .
Convierte $101010_2$ a decimal.
Encuentra los factores primos de $144$ y representa su descomposición.
Representa $2024$ en base $3$ .

Recursos Descargables

Guía PDF: Explicaciones y ejercicios resueltos.
Hojas de ejercicios: Problemas adicionales para practicar.

Conclusión

Los sistemas de numeración son herramientas poderosas que combinan simplicidad y estructura matemática. La representación única de números en cualquier base y su descomposición en factores primos son pilares fundamentales de las matemáticas. Dominar estos conceptos abre puertas a aplicaciones prácticas y académicas, desde la computación hasta la teoría de números.

Otras lecturas

A continuación te recomiendo otras entradas del blog y otros recursos externos para que puedas ampliar lo que te he contado hasta ahora

Aquí tienes la entrada de Wikipedia que te he mencionado antes.
Es posible que te interese saber sobre criterios de divisibilidad.
Pero los criterios de divisibilidad se basan en matemática discreta (esta es una introducción)
Quizá quieras conocer otros sistemas de numeración. Esta es una entrada a nivel de enseñanza secundaria.
En cuanto a bibliografía, aquí te dejo unos cuantos libros que he usado para preparar esta entrada:
- Elementos de matemática discreta; Emilio Bujalance y cols.
- Matemática discreta; Felix García Merayo
- ¿Qué son las matemáticas?; Richard Courant

🧮 Sistemas y bases de numeración🔢