Sistemas de numeración en la ESO: de los babilonios a los PC

Índice

1 Introducción
2 ¿Qué es un sistema de numeración? ¿Por qué es importante?
3 Paso de un sistema de numeración de una base a otra
4 Conclusión
5 Ejercicios Propuestos
6 Y ahora… ¿Qué?

Introducción

Los sistemas de numeración han sido fundamentales para organizar cantidades desde la antigüedad. Desde el binario que impulsa la tecnología moderna hasta el sexagesimal que usamos en el tiempo, cada sistema tiene su propósito. Aquí aprenderás los más importantes y cómo funcionan.

Todos los sistemas de numeración presentan respuestas a la pregunta ¿Cómo logramos representar números sin mostrar físicamente cada elemento? Cada uno ha conseguido una solución distinta a los demás. En este artículo, te explico los sistemas más importantes:

El decimal, que usamos cotidianamente.
El sexagesimal, aún presente en mediciones de tiempo y ángulos.
El binario, la base de los ordenadores.
El romano, usado en fechas históricas y estéticas.

Imagen generada con la ayuda de ChatGPT, un modelo de inteligencia artificial desarrollado por OpenAI.
Imagen con fines ilustrativos.

¿Qué es un sistema de numeración? ¿Por qué es importante?

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y símbolos:

Los símbolos indican los números.
Las reglas nos indican cómo debemos leer esos números, qué cantidad representan y en qué base están escritos.

Veámoslo con el ejemplo más fácil.

Sistema de numeración decimal (base 10): La base que usamos cada día

El sistema de numeración decimal, basado en base 10, utiliza los dígitos del 0 al 9 para representar cualquier cantidad. Las reglas que lo rigen son:

Es decimal, es decir, las cantidades se van agrupando de diez en diez: diez unidades conforman una decena, diez decenas son una centena, etcétera.
Es posicional, es decir, el valor de un dígito depende del lugar que ocupa.

Ejemplo:

Toma el número 345. Podrías pensar que cada dígito significa lo mismo pero no es verdad. El cinco son las unidades, el cuatro son las decenas (ya hemos pasado al siguiente grupo de diez) y el tres indica las centenas (que son diez grupos de diez).

De hecho puedes escribir el número de forma polinómica de la siguiente manera (aquí una entrada sobre potencias):

$345 = 3\cdot 10^2+4\cdot 10 + 5\cdot 10^0$

Si ahora permutas los dígitos y escribes 453, los guarismos (los dígitos o “garabatos” que escribes) son los mismos pero su significado ha cambiado: ahora tenemos tres unidades, cinco decenas y cuatro centenas.

De hecho, si ponemos este nuevo número de forma polinómica tenemos:

$453=4\cdot 10^2+5\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0$

Observa cómo influye la posición en el valor del dígito y cómo siempre estamos usando potencias de 10.

Otros sistemas de numeración

A continuación te cuento algunas cosas básicas sobre el sistema de numeración sexagesimal, binario y romano.

Sistema de numeración sexagesimal (base 60)

El sistema sexagesimal tiene su origen en Babilonia (actual Iraq), alrededor de los ríos Tigris y Éufrates. Su base de numeración es 60 y aún usamos este sistema para la medición del tiempo (horas y minutos) y los ángulos.

La razón de usar una base tan grande como 60 es que este número tiene muchos divisores y permitía una buena representación de números decimales. De todas maneras, estas cuestiones no nos interesan ahora.

Como la base es 60, piensa que se necesitan 60 símbolos ya que debes poder representar en un único guarismo las cantidades desde 0, que en aquella época no existía (apareció en el S. VIII en la actual India) hasta el número 59.

Mas adelante veremos cómo convertir números entre diferentes bases, pero por ahora lo que quiero decirte es que si en base 60 escribes el número $10_{(60}$ realmente estás escribiendo (volviendo a la notación polinómica de los números):

$10_{(60} = 1\cdot 60^1 + 0\cdot 60^0=60$

Veamos otro ejemplo:

$145_{(60} =1\cdot 60^2 + 4\cdot 60^1 + 5 \cdot 60^0= 3845$

Aquí me he adelantado a lo que te contaré un poco más abajo en la entrada:

Aún no te he enseñado cómo pasar números de una base a otra.
He supuesto que los dígitos 0….9 tenían para los babilonios el mismo significado que para nosotros. Ellos no usaban estos dígitos, si no muescas en tablillas de arcilla (su sistema de escritura era el cuneiforme) y su sistema de numeración no era posicional.

De todas maneras ¿por qué es importante conocer este sistema de numeración?

Es importante porque aún lo usamos en dos cuestiones bastante importantes:

Medición de ángulos: un grado de ángulo se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Además, una circunferencia completa tiene 360º, es decir cuatro grupos de sesenta grados completos.
Medición del tiempo: la verdad es que aquí tenemos una mezcla con varias cosas, pero en cuanto al sistema sexagesimal, una hora son sesenta minutos y un minuto son sesenta segundos.

Sistema de numeración binario (base 2)

En el sistema binario lo que ocurre es que nuestra base de numeración es el 2, por lo que sólo tenemos como símbolos posibles el 0 y el 1. Así que si queremos representar el número 2, no lo podemos poner directamente en el sistema binario. Su representación es $10_{(2}$ Date cuenta que este número indica UN (1) grupo de dos elementos y NINGÚN (0) grupo de un elemento.

Así, si tenemos el número $100101_2$ , leyendo de derecha a izquierda tenemos:

1: UN grupo individual (las “unidades” del binario)
0: NINGÚN grupo de dos elementos (las “decenas” del binario)
1: UN grupo de dos veces dos elementos (las “centenas” del binario)
0: NINGÚN grupo de dos veces dos veces dos elementos (las “millares” del binario)
0: NINGÚN grupo de dos veces dos veces dos veces dos elementos (las “decenas de millar” del binario)
1: UN grupo de dos veces dos veces dos veces dos veces dos elementos (las “centenas de millar” del binario)

Como ves es más fácil ponerlo en forma polinómica:

$100101_2= 1 \cdot 2^5+ 0 \cdot 2^4+ 0 \cdot 2^3+ 1 \cdot 2^2+ 0 \cdot 2^1+ 1 \cdot 2^0= 37_{(10}$

Sistema de numeración romano

El sistema romano tiene la particularidad que es sumativo y también semiposicional. Veamos.

Los signos que se utilizan son:

I: indica 1
V: indica 5
X: indica 10
L: indica 50
C: indica 100
D: indica 500
M: indica 1000

Es sumativo porque el valor de cada guarismo (que en este caso son letras) se va sumando a los demás. Así, $III$ significa $1+1+1=3$ y $LXV$ significa $50+10+5=65$ .

Pero el valor también depende de la posición relativa con los símbolos que tiene al lado:

Si el símbolo que le sigue posee un valor mayor, el primero resta, si posee un valor menor entonces se suma.

Ejemplos:

$IV$ , como $I$ vale menos que $V$ y va delante entonces resta su valor: $5-1 = 4$ .

$VI$ como $I$ vale menos que V y va detrás, entonces suma su valor: $5+1= 6$

Así que un número como $MCDXCII$ es un poquito complicado de leer, te lo voy a dividir en varios grupos para ayudarte: ${\color{blue}M}\, {\color{red}CD}\, {\color{blue}XC}\, {\color{red}II}$ significa: $1000+ (500-100) + (100-10) + 2=1492$

Ahora tú puedes decirme qué número es $MMDCCXCIX$ (Déjamelo en comentarios)

No es un sistema eficaz para escribir números y es bastante complicado para operar con él. imagina tener que multiplicar $48\cdot 158$ en romano. Deberías escribir algo así como $XLVIII\cdot CLVIII$ En realidad esto es inviable y por eso se usaba el ábaco para operar.

Usamos este sistema para representar algunas fechas en placas históricas y también para la numeración de los siglos (actualmetne estamos en el S. XXI) También se usa en los números en las esferas de los relojes.

Paso de un sistema de numeración de una base a otra

La conversión entre bases es un proceso importante para comprender los sistemas posicionales. A continuación, veremos cómo convertir números de una base a otra.

Como pasar de una base a base 10

Este ejercicio ya lo hemos estado haciendo antes, pero te lo voy a explicar completamente ahora.

Primer ejemplo

Imagina que tienes el sistema hexadecimal (base 16) donde tienes los símbolos siguientes $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F$ es decir los mismos que usamos en nuestro sistema decimal y además las letras A-F para representar cantidades dede 10 hasta 15.

¿Qué número es $13_{(16}$ en base 10?

Pues utilizamos la notación polinomial del número teniendo en cuenta que es base 16, cada uno de los dígitos representa una potencia de la base de numeración en orden creciente desde la derecha hacia la izquierda:

$13_{(16}= 1\cdot 16^1+3\cdot 16^0=19_{(10}$

¿Qué número es $1A0F_{(16}$ en base 10?

Volvemos a hacer lo mismo?

$1A0F_{(16}= 1\cdot 16^3+10\cdot 16^2+ 0\cdot 16^1+15\cdot 16^0=6671_{(10}$

Segundo ejemplo

Ahora imagina que estamos en un sistema de base 6. Los dígitos que podemos usar son $0,1,2,3,4,5$ , así:

¿Qué número es $421451_{(6}$ en base 10?

Usando la notación polinomial de un número y teniendo en cuenta que es base 6 obtenemos:

$\begin{split}421451_{(6}&= 4\cdot 6^5 + 2\cdot 6^4 + 1\cdot 6^3 + 4\cdot 6^2 + 5\cdot 6^1 + 1\cdot 6^0=\\&=34087_{(10}\end{split}$

Como pasar de una base 10 a otra base

En este caso debemos ir haciendo divisiones sucesivas. Voy a hacer varios ejemplos. El primero te lo haré de “forma canónica” y el resto mediante un algoritmo mucho más visual:

Pasa el número 37 a base 3: Debemos ir dividiendo consecutivamente entre tres el número y los cocientes sucesivos. Observa:

$46= 3\cdot 15 + 1 \quad \text{cociente 15, resto 1}$

$15=3\cdot 5 + 0 \quad\text{coc. 5, resto 0}$

$5= 3\cdot 1 + 2 \quad\text{coc. 1, resto 2}$

Ahora vamos haciendo sustituciones sucesivas en las divisiones y obtenemos lo siguiente:

$46= 3\cdot 15+1= 3\cdot (3\cdot 5 +0)+ 1= 3\cdot (3\cdot (3\cdot 1+2)+0)+1= \newline \phantom{46= 3\cdot 15+1=} = 1\cdot 3^3+ 2\cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 1$

Es decir que en base 3 tenemos lo siguiente:

$46_{(10}= 1201_(3$

Este método es el más formal, pero es un poco lioso y, en mi opinión, es mejor hacer las divisiones que te propongo en el siguiente:

Pasa el número 164 a base 6.

$\begin{tabular}{rrl} 164 \vline&6\phamtom{77}&\\ \cline{2-2} 45 &27\vline&6 \\\cline{3-3} 2&3&4 \end{tabular}$

Y ahora debes leer el último cociente (4) y a partir de ahí los restos (3,2) así obtienes el número escrito en base 6:

$164_{10}= 432_6$

Te voy a hacer un último ejemplo:

Pasa el número 2024 a base 8

$\begin{tabular}{rrrl} 2024 &\hspace*{-3pt}\vline 8\phantom{53} & & \\\cline{2-2} 42\phantom{4} &253 &\vline 8\phantom{1}& \\\cline{3-3} 24 &13 &31 & \vline 8 \\\cline{4-4} 0 &5 &7 & 3 \end{tabular}$

Ahora solo debes leer desde la derecha hacia la izquierda empezando por el último cociente y todos los restos:

$2024_{10}= 3750_8$

Conclusión

Cada sistema de numeración tiene su propósito único. ¿Cuál te sorprendió más? Déjanos tus comentarios y no olvides compartir este artículo.

Ejercicios Propuestos

Convierte $11010_2$ al sistema decimal.
Escribe $345$ en el sistema sexagesimal.
Convierte $CLXVII$ I al sistema decimal.
Escribe $1001_{(2)}$ en forma polinómica.
Convierte $1A3_{(16)}$ al sistema decimal.
Escribe $745$ en el sistema binario.
Convierte $MCMXCIX$ al sistema decimal.
Escribe $360$ en el sistema babilónico.
Convierte $1425_{(6)}$ al sistema decimal.
Escribe $67_{(10)}$ en el sistema base 5.

Las soluciones a estos ejercicios puedes encontrarlas aquí.

Descarga nuestra guía completa de sistemas de numeración con ejercicios resueltos paso a paso. Sólo ingresa tu correo y te enviaremos el PDF de inmediato (Próximamemente).

Chequea tu conocimiento: Si quieres puedes realizar el minicurso de 1ESO que tengo en mi plataforma de formación. Es gratis (próximamente).

Puedes ver los vídeos del mi canal de YouTube si quieres otra presentación.

Si quieres puedes matricularte en nuestro curso premium sobre números naturales y sistemas de numeración (próximamente).

Y ahora… ¿Qué?

Una entrada más técnica sobre los sistemas de numeración.

Una entrada sobre la historia y evolución de los distintos sistemas de numeración.

🧮😎Sistemas de numeración para la ESO: de los babilonios al binario 🔟🎉

Introducción

¿Qué es un sistema de numeración? ¿Por qué es importante?

Sistema de numeración decimal (base 10): La base que usamos cada día