Introducción

Los números son fundamentales en matemáticas y, de hecho, en toda nuestra vida cotidiana estamos usándolos de muchas maneras.

A lo largo de tus estudios, descubrirás que los números pueden clasificarse en diferentes conjuntos según sus propiedades y su estructura, aunque introducirnos en ese mundo requiere conocimientos algo más avanzados que lo que pretendo con esta entrada. 

Lo que sí quiero es que esta entrada sea una introducción a los conjuntos numéricos principales que estudiarás a lo largo de la etapa escolar y que también se usan en niveles superiores: si lo que quieres es una entrada técnica sobre la construcción de los distintos conjuntos numéricos, puedes verlo pinchando en las siguientes: naturales, enteros, racionales, irracionales, reales, complejos.  

Cada conjunto numérico tiene características que lo distinguen de los demás (aquí tienes una entrada introductoria a nivel universitario) y que lo hacen adecuado para diferentes tipos de operaciones y problemas. En esta entrada, haremos un recorrido general por cada uno de estos conjuntos que son: números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales, números reales y números complejos. (si pinchas en los diferentes enlaces te llevarán a la entrada dedicada a cada conjunto numérico a nivel escolar).

Como ya te he comentado, quiero que cada sección sea un resumen introductorio sobre lo mínimo que debes conocer de cada conjunto numérico para tu paso por la ESO-Bachillerato.

1. Números Naturales (ℕ)

Los números naturales son el primer conjunto numérico que conoces desde que aprendes a contar. Este conjunto incluye todos los números que usamos para contar objetos en el mundo físico: 1, 2, 3, y así sucesivamente. A veces, se incluye el 0 en los números naturales (0, 1, 2, 3…), aunque eso depende del contexto.

Cada conjunto numérico se representa con una letra especial. En el caso de los naturales, la letra es .

En general, si queremos representar a los números naturales con el cero incluído lo hacemos de la siguiente manera

Si por el contrario queremos que el 0 no forme parte del conjunto, lo representamos así: 

Pero como te he dicho, depende del contexto (aquí un análisis técnico). Por ejemplo, nadie empieza a contar a partir del 0, si no del 1. Por otro lado, en el caso de las matrículas de los coches, es posible que el 0000 represente la primera y no la número 10000. Lo mismo podríamos decir para la lotería, en donde 00000 representa el primer décimo y no el 100.000º.

Personalmente yo me inclino por incluir el 0 en a nivel escolar, ya que de esta manera puedo incluir el elemento neutro de la suma, lo cual dota al conjunto de los naturales de unas características muy interesanteshttp://miprofemetienemania.com/propiedades-estructurales-numeros-naturales; pero esto es tema para otra entrada. 

Propiedades de los números naturales:

• Son todos números enteros positivos o cero.
• No incluyen fracciones, decimales ni números negativos.
• Son los primeros números que usamos en operaciones básicas, como la suma y la multiplicación.

Qué operaciones podemos realizar: 

Cuando digo qué operaciones podemos realizar debes plantearte la siguiente pregunta: ¿De la suma, resta, multiplicación y división, cuáles de ellas siempre me dan como resultado un número natural? Cada uno de los conjuntos numéricos te permite hacer unas operaciones. Para el caso de los naturales: 

• La suma de dos naturales siempre da como resultado un número natural
• La resta de dos naturales no siempre da como resultado un número natural: que sí es natural, pero no es natural. 
• La multiplicación siempre da como resultado un número natural. 
• La división no siempre da como resultado un número natural: que sí es natural, pero no es natural. 

Estas cuestiones hacen que debamos plantearnos cómo “aumentar” o “modificar” este conjunto numérico para poder operar, al menos, con la resta. De esta manera nos vemos obligados a ir al siguiente conjunto numérico: los enteros. 

2. Números Enteros (ℤ)

El conjunto de números enteros amplía el de los números naturales al incluir también los números negativos. Es decir, incluye todos los números enteros, tanto positivos como negativos y el cero.

Los números enteros se representan por la letra y son:

Propiedades:

• Son números que no poseen parte decimal.
• Permiten realizar operaciones como la resta sin salir del conjunto, lo cual no ocurre con los números naturales.

Los números enteros tienen múltiples aplicaciones, especialmente en situaciones donde se necesitan representar valores negativos (por ejemplo, temperaturas bajo cero, deudas, entre otros):

• Si estás en la planta 3 de un edificio y bajas 5 plantas ¿dónde te hallarás?
• Si debes 5€ a tu hermano y te encuentras un billete de 10€ en la calle ¿cuánto dinero deberías?

Este tipo de problemas, como ves, son bastante comunes en nuestra vida diaria. 

Para saber más sobre los números enteros, consulta la entrada sobre números enteros que te he dejado hace unos instantes o bien, si quieres una explicación técnica, puedes pinchar aquí. 

3. Números Racionales (ℚ)

Los números racionales incluyen todos los números que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Ejemplos de números racionales son .

Los racionales se representan con la letra

Propiedades:

• Incluyen fracciones, números enteros y decimales finitos o periódicos.
• Son el primer conjunto numérico en el que aparecen los números fraccionarios, que permiten representar partes de un todo.

Los números racionales son fundamentales cuando hablamos de divisiones exactas y fracciones (en esta entrada puedes ver cómo se relacionan los decimales y las fracciones), y permiten cálculos más precisos que los enteros.

Si quieres una explicación muy técnica sobre los números racionales (nivel universitario) puedes pinchar aquí.

4. Números Irracionales (I)

El conjunto de números irracionales agrupa aquellos números que no pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Los irracionales incluyen números como que tienen representaciones decimales infinitas y no periódicas. Otro número irracional muy importante es .

Los números irracionales se representan con la letra

Como pasatiempo puedes visitar esta página web y buscar dónde aparece en el desarrollo decimal de tu DNI, tu fecha de nacimiento…

Propiedades:

• Su expresión decimal es infinita y no periódica.
• No pueden expresarse como fracción de dos números enteros.
• La suma y la multiplicación de números irracionales no siempre dan como resultado un número irracional.

Los números irracionales son importantes para el cálculo avanzado y aparecen con frecuencia en geometría y trigonometría.

Aunque todos los conjuntos numéricos que llevamos vistos hasta ahora poseen infinitos elementos, debes saber que hay infinitos más grandes que otros (empezarás a ver algo de esto en Bachillerato. Te dejo esta entrada para empezar por algún sitio). Lo que quiero contarte es que aunque los naturales, enteros y racionales son infinitos números, son “el mismo infinito” (puedes considerar que hay los mismos, aunque es mucho más complejo); pero cuando hablamos de números irracionales, que también son infinitos, resulta que son un “infinito más grande”. 

No quiero contarte más sobre esto, porque es irse por las ramas, pero me parece muy interesante mencionarlo. Una persona que estudió mucho el infinito fue Riemann.

Para explorar más sobre los números irracionales, consulta pincha aquí.

5. Números Reales (ℝ)

El conjunto de números reales es la “suma” (técnicamente se dice unión) de los números racionales e irracionales. Incluye todos los números que puedes ubicar en la recta numérica: fracciones, decimales finitos, decimales infinitos, números enteros, etc.

La letra con la que se representan es la

Propiedades:

• Incluyen a todos los números racionales e irracionales.
• Cualquier número que puedas imaginar en la recta numérica es un número real.

El conjunto de los números reales es esencial para la mayoría de las matemáticas escolares, ya que permite trabajar con prácticamente todas las cantidades medibles en el mundo real. Solo si estudias un Bachillerato de ciencias tendrás que trabajar con el siguiente conjunto de números.

Para profundizar en los números reales desde un punto de vista técnico, consulta la entrada Números Reales.

6. Números Complejos (ℂ)

Finalmente, los números complejos amplían el concepto de número al incluir una parte imaginaria. Un número complejo se expresa en la forma a + bi, donde «a» y «b» son números reales, e «i» es la unidad imaginaria (i² = -1, aunque esta igualdad no es del todo correcta, como te muestro aquí).

Propiedades:

• Incluyen tanto una parte real como una parte imaginaria.
• Son esenciales en matemáticas avanzadas y en muchas áreas de ingeniería y física.

Aunque los números complejos no son parte del currículo básico de la ESO, conocer su existencia es útil para entender cómo las matemáticas pueden extenderse a resolver problemas que no pueden abordarse con los números reales. Además, como te he comentado antes, si deseas estudiar un bachillerato de ciencias, tendrás que trabajar con ellos.

Si quieres ver una entrada técnica sobre los números complejos, pincha aquí.

Conclusión

Esta introducción a los conjuntos numéricos proporciona un panorama general de los distintos tipos de números que estudiarás. Cada conjunto tiene propiedades únicas que lo hacen adecuado para ciertos tipos de problemas y operaciones matemáticas. Desde los números naturales hasta los complejos, estos conjuntos nos permiten representar y resolver problemas de manera precisa.

En el transcurso de tus estudios, aprenderás más sobre cada uno de estos conjuntos y cómo se relacionan entre sí. A medida que avanzas, también verás cómo estos conjuntos forman la base para temas más avanzados en matemáticas.

Ya te he ido dejando enlaces a otras entradas del blog donde te explico cada conjunto numérico por separado. Espero que todo esto te sirva de ayuda.

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En fin, nada mas por hoy