Hola, hoy te traigo un problema que, en apariencia, es sencillo, pero que requiere un poco de imaginación para resolverlo.
Enunciado:
Tenemos dos números enteros 
y tales que la diferencia de sus cuadrados es:
![\[ b^2-a^2 = 15 \]](https://www.miprofemetienemania.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1965b74a2dd82c6b72b92c81664ab714_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La pregunta es sencilla: ¿Qué números son?
Para resolver este problema debemos usaremos una herramienta fundamental del álgebra: los productos notables, en concreto de la siguiente fórmula sobre diferencia de cuadrados:
![\[ (\alpha +\beta ) \cdot (\alpha - \beta ) = \alpha^2 - \beta^2 \]](https://www.miprofemetienemania.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed790a15cf1353e2fecbeea5de0ca856_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Que aplicada a nuestro caso queda:
![\[ b^2-a^2=(b+a)\cdot (b-a) = 15 \]](https://www.miprofemetienemania.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-49c7075e6ff3d8875f916daa47ba80b2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esta ecuación nos dice que debemos encontrar pares de números cuyo producto sea 
, pues estos representan los valores de 
y 
.
Los divisores positivos de nos dan las siguientes parejas:
![\[ (1,15), (3,5), (5,3), (15,1) \]](https://www.miprofemetienemania.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a03389cb0f481c080fc320e5318de13_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
siendo el primero de los números de cada pareja el que corresponde a 
y el segundo número de la pareja el que corresponde a 
.
Por tanto, podemos y debemos resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
Si los resolvemos, por ejemplo mediante reducción, obtenemos las siguientes soluciones (te los presento en orden):
Si quieres expresar estas soluciones de una manera más elegante, como 
puedes hacerlo así:
![\[ (-7,8)\,\, ; \,\,(-1,4)\,\, ; \,\,(1,4)\,\, ; \,\,(7,8)\]](https://www.miprofemetienemania.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e2a14443aebfe29feb3d8abebbfd39b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Como ves se trata básicamente de las mismas soluciones sólo que vamos jugando con los signos de 
Continúa…
Y hasta aquí el problema….. Pues no, porque nos hemos dejado la mitad de las soluciones por el camino. Nos faltan estas otras parejas, cuyo producto también es
![\[ (-1,-15), (-3,-5), (-5,-3), (-15,-1) \]](https://www.miprofemetienemania.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26146b4ccd5bd9fcc6219a7c6af7e9f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Pero estas no las voy a resolver, te dejo que lo intentes tú y me des los resultados en comentarios. Además, ¿observas algo raro con estas nuevas soluciones? ¿Se cumplen las condiciones del problema propuesto? 
Comentarios finales
Este problema es un buen ejemplo de cómo una técnica simple, como la factorización de la diferencia de cuadrados, nos permite resolver ecuaciones de manera elegante. También nos enseña a cuestionarnos si hemos contemplado todas las posibilidades, explorando tanto los valores positivos como negativos.
¿Has encontrado las soluciones adicionales? ¿Cumplen con la condición de 
? Déjame tu respuesta en los comentarios.
con una representación geométrica clara.» class=»wp-image-6031″ style=»border-width:1px;border-radius:10px»/>✍️ Problemas
En este blog tengo varios problemas. Pero es posible que no quiera o no te apetezca ver todos los que corresponden a la etiqueta problemas.
Por ello te los he clasificado en varias categorías. Estas se basan en ¿Cuándo tienen los alumnos las herramientas necesarias para responderlos? Pero eso no significa que sean típicas de ese nivel educativo.
Sólo te los clasifico a un nivel que podríamos llamar «suelo».
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y ayúdame a seguir creando. ¡Gracias de antemano!
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