✍️¿Qué es una Matriz?📈

Probablemente hayas visto alguna vez, en los apuntes de tus hermanos mayores, esas tablas de números ordenadas en filas y columnas. Parecían complicadas, ¿verdad? Pues bien, son matrices. Y en esta entrada descubrirás qué son, algunas definiciones y algunas utilidades. Tengo toda una liga preparada sobre matrices por si quieres bucear en ese mundo.
De momento vamos a responder ¿qué es una matriz?

Una Introducción Intuitiva

¿Qué tienen en común el análisis de las redes sociales, la gestión de ventas de una empresa o la planificación de rutas de transporte? A primera vista, pueden parecer mundos completamente distintos. Sin embargo, todos ellos pueden ser representados y analizados de una manera sorprendentemente ordenada y eficiente gracias a una herramienta matemática fundamental: las matrices.

✍️ Liga de las matrices

Esta entrada forma parte de una liga de conocimiento sobre matrices aun nivel de bachillerato que he preparado para bachillerato. Desde los fundamentos hasta las aplicaciones más complejas como los sistemas de ecuaciones. Para una compresión del tema puede puedes leer las siguientes entradas.

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Si en lo que estás interesado es en la estudio de los determinantes, puedes visitar la liga que tengo preparada sobre determinantes aquí.

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Y si lo que quieres es aprender a resolver sistemas de ecuaciones, el teorema de Rouché Frobenius y la regla de Cramer, aquí tienes la primera entrada de esa otra liga

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En su forma más básica, una matriz no es más que una tabla de números, una rejilla rectangular donde organizamos datos en filas y columnas. Pero esta sencilla estructura es increíblemente poderosa. Nos permite tomar información compleja del mundo real y convertirla en un formato que podemos manipular y del que podemos extraer conclusiones valiosas.

De los «Me Gusta» a los Grafos

Piensa en tus redes sociales. Cada «me gusta», cada «seguir», cada «amigo» es una conexión. Si quisiéramos estudiar la red de amistades de un grupo de personas, podríamos crear un grafo (Próximamente: un artículo detallado sobre este tema. Suscríbete para no perdértelo.) , un conjunto de puntos (las personas) unidos por líneas (sus relaciones).

Representación visual de una red de amistad. Cada persona (nodo) se conecta con sus amigos a través de una arista, formando un grafo que analizaremos a continuación.

Esto, que visualmente puede volverse muy complejo, se puede representar de forma clara con una matriz de adyacencia. En esta matriz, las filas y columnas están etiquetadas con los nombres de las personas. Un ‘1’ significa que están conectadas, y un ‘0’ que no lo están.

$A =\begin{pmatrix}& \text{Ana} & \text{Berto} & \text{Clara} & \text{Dani} & \text{Elena} & \text{Fran} \\\text{Ana} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\text{Berto} & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\text{Clara} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\text{Dani} & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\text{Elena} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\text{Fran} & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

Definiciones Fundamentales y Tipos de Matrices

Ahora que tenemos una idea intuitiva, vamos a formalizar los conceptos. A continuación, se presentan las definiciones fundamentales y los diferentes tipos de matrices que debes conocer.

Definición formal de Matriz

Una colección de $m \cdot n$ números dispuestos en $m$ filas y $n$ columnas se denomina matriz. Se dice que la matriz tiene dimensión $m \times n$ . El componente $a_{ij}$ se sitúa en la fila $i$ y la columna $j$ .

$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots& \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}$

Fila y Columna

Se llama fila de una matriz a cada una de las líneas horizontales de elementos. Una columna es cada una de las líneas verticales.

Ejemplo: En la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ :

La primera fila es $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ .
La tercera columna es $\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ .

Matriz Cuadrada

Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas ( $m=n$ ). Se dice entonces que la matriz es de orden n.

Los elementos $a_{ij}$ con $i=j$ forman la diagonal principal.
Los elementos $a_{ij}$ con $i+j = n+1$ forman la diagonal secundaria.

Ejemplo: En la matriz $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 5 & 3 & 2 \\ 7 & -4 & 9 \end{pmatrix}$ de orden 3:

La diagonal principal está formada por los elementos $(1, 3, 9)$ .
La diagonal secundaria está formada por los elementos $(-1, 3, 7)$ .

Matriz Nula

Una matriz nula (o matriz cero) es aquella en la que todos sus elementos son cero. Se representa por $\mathbf{0}$ .

Ejemplos:

$O_{2\times2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad O_{2\times3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Matriz Triangular

Una matriz triangular es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son cero.

Una matriz triangular superior es aquella donde todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero ( $a_{ij}=0$ si $i>j$ ).
Una matriz triangular inferior es aquella donde todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero ( $a_{ij}=0$ ) si $i<j$

Ejemplos:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \quad (\text{Triangular Superior})$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 0 \\ -2 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad (\text{Triangular Inferior})$

Otros tipos importantes de matrices

Matriz Diagonal: Matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero.
Matriz Identidad (I): Matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son 1.
Matriz Traspuesta (A^t): Se obtiene al intercambiar las filas por las columnas.
Matriz Simétrica: Matriz cuadrada que es igual a su traspuesta ( $A = A^t$ ).
Matriz Antisimétrica: Matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta ( $A = -A^t$ ).

¡Y eso es todo por ahora! Ya tienes una base sólida sobre qué son las matrices y los diferentes tipos que existen.

En la próxima entrada, veremos cómo operar con ellas: suma, resta, multiplicación… ¡y descubriremos por qué no se pueden dividir!

Siguiente entrada: Operaciones con Matrices →
(Próximamente: un artículo detallado sobre este tema. Suscríbete para no perdértelo.)

✍️¿Qué es una Matriz?📈

Una Introducción Intuitiva

De los «Me Gusta» a los Grafos

Definiciones Fundamentales y Tipos de Matrices

Definición formal de Matriz

Fila y Columna

Matriz Cuadrada

Matriz Nula

Matriz Triangular

Otros tipos importantes de matrices

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