Qué es una matriz: definición, tipos y ejemplos

Probablemente hayas visto alguna vez una tabla de números ordenados en filas y columnas, quizá en apuntes de tus hermanos mayores. Esas tablas son matrices y permiten organizar información, representar relaciones entre datos y realizar numerosos cálculos.

En esta entrada veremos qué es una matriz, cómo se indica su dimensión, qué representan sus filas y columnas, cuándo son iguales dos matrices y cuáles son los tipos de matrices más importantes. También estudiaremos un ejemplo de matriz de adyacencia aplicado a una red de amistades. Sí, tus redes sociales usan matrices.

Una introducción intuitiva

¿Qué tienen en común el análisis de las redes sociales, la gestión de ventas de una empresa o la planificación de rutas de transporte? A primera vista, pueden parecer mundos completamente distintos. Sin embargo, todos ellos pueden ser representados y analizados de una manera sorprendentemente ordenada y eficiente gracias a una herramienta matemática fundamental: las matrices.

En su forma más sencilla, una matriz es tan solo una tabla rectangular en la que los datos se organizan en filas y columnas. Esta estructura permite representar información de forma ordenada y realizar operaciones sistemáticas con ella. La utilidad de una matriz no depende únicamente de los números que contiene, sino también de la posición que ocupa cada uno de sus elementos.

De los «me gusta» a los grafos

Piensa en una de las muchas redes sociales que existen. Cada relación de amistad o seguimiento establece una conexión entre dos personas. Cada «me gusta», cada «no me gusta» y cualquier otra interacción generan, además, información sobre la relación entre tu perfil y el autor de la publicación.

Para simplificar, nos fijaremos únicamente en las relaciones de amistad mutua. Si quisiéramos estudiar la red de amistades de un grupo, podríamos representarla mediante un grafo: un conjunto de puntos, llamados nodos, unidos mediante líneas, llamadas aristas. En este ejemplo, cada nodo representa una persona y cada arista indica una relación de amistad.

[[Próximamente: introducción a la teoría de grafos]]

Representación visual de una red de amistad. Cada persona constituye un nodo y cada relación de amistad se representa mediante una arista.

Una red con muchas conexiones puede resultar difícil de analizar mediante un dibujo. Sin embargo, podemos representar la misma información mediante una matriz de adyacencia. Las filas y las columnas corresponden a las personas de la red: escribimos un «1» cuando dos personas están conectadas y un «0» cuando no existe conexión entre ellas.

$A =\begin{pmatrix}& \text{Ana} & \text{Berto} & \text{Clara} & \text{Dani} & \text{Elena} & \text{Fran} \\\text{Ana} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\text{Berto} & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\text{Clara} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\text{Dani} & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\text{Elena} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\text{Fran} & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

Por ejemplo, el elemento situado en la primera fila y la segunda columna es $a_{12}=1$ . Esto significa que Ana y Berto son amigos. En cambio, $a_{15}=0$ , por lo que Ana y Elena no están conectadas directamente.

La diagonal principal está formada por ceros porque, en este modelo, no consideramos que una persona esté conectada consigo misma. Además, la relación de amistad es mutua: si Ana está conectada con Berto, Berto también está conectado con Ana. Por eso se cumple $a_{ij}=a_{ji}$ y la matriz de adyacencia es simétrica.

Definiciones fundamentales y tipos de matrices

Ahora que tenemos una idea intuitiva, vamos a formalizar los conceptos. A continuación, se presentan las definiciones fundamentales y los diferentes tipos de matrices que debes conocer.

Definición formal de matriz

Una matriz de dimensión $m \times n$ es una tabla rectangular formada por $m \cdot n$ elementos dispuestos en $m$ filas y $n$ columnas. Salvo que se indique lo contrario, trabajaremos con matrices cuyos elementos son números reales.

Una matriz suele representarse mediante una letra mayúscula, mientras que sus elementos se representan mediante la misma letra minúscula. El elemento $a_{ij}$ ocupa la fila $i$ y la columna $j$ . De forma abreviada, podemos escribir:

$A= (a_{ij})_{m\times n}$

$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots& \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}$

Igualdad de matrices

Dos matrices $A = (a_{ij})$ y $B=(b_{ij})$ son iguales si tienen la misma dimensión y los elementos situados en las mismas posiciones son iguales. Por tanto:

$A=B \Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij}$

para todos los valores posibles de $i$ y $j$ .

Por ejemplo, sean las matrices:

$A=\begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4\end{pmatrix};\qquadB=\begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4\end{pmatrix};\qquadC=\begin{pmatrix} 1&2\\ 4&3\end{pmatrix}$

Las matrices $A$ y $B$ son iguales porque tienen la misma dimensión y todos sus elementos correspondientes coinciden. Sin embargo, $A \neq C$ , ya que, por ejemplo, el elemento situado en la segunda fila y la primera columna es distinto: $a_{21}=3$ , mientras que $c_{21}=4$ .

Dos matrices de dimensiones diferentes nunca pueden ser iguales, aunque contengan los mismos números.

Filas y columnas

Se llama fila de una matriz a cada una de las líneas horizontales de elementos. Una columna es cada una de las líneas verticales.

Ejemplo: En la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ :

La primera fila es $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ .
La tercera columna es $\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ .

Matriz cuadrada

Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas ( $m=n$ ). Se dice entonces que la matriz es de orden n.

Los elementos $a_{ij}$ con $i=j$ forman la diagonal principal.
Los elementos $a_{ij}$ con $i+j = n+1$ forman la diagonal secundaria.

Ejemplo: En la matriz $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 5 & 3 & 2 \\ 7 & -4 & 9 \end{pmatrix}$ de orden 3:

La diagonal principal está formada por los elementos $(1, 3, 9)$ .
La diagonal secundaria está formada por los elementos $(-1, 3, 7)$ .

Matriz nula

Una matriz nula (o matriz cero) es aquella en la que todos sus elementos son cero. Se suele representar mediante $O_{m\times n}$ , donde los subíndices indican su dimensión.

Ejemplos:

$O_{2\times2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad O_{2\times3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Matrices triangulares

Una matriz triangular es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son cero.

Una matriz triangular superior es aquella en la que todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son cero ( $a_{ij}=0$ si $i>j$ ).
Una matriz triangular inferior es aquella en la que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son cero $(a_{ij}=0$ si $i<j )$ .

Ejemplos:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \quad (\text{triangular superior})$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 0 \\ -2 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad (\text{triangular inferior})$

Otros tipos importantes de matrices

Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero. Es decir, $a_{ij}=0$ cuando $i\neq j$ .

$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

Matriz identidad. Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1. La matriz identidad de orden $n$ se representa mediante $I_n$ :

$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Matriz traspuesta. La matriz traspuesta de $A$ , representada mediante $A^T$ , se obtiene intercambiando las filas por las columnas. Si $A$ tiene dimensión $m\times n$ , entonces $A^T$ tiene dimensión $n\times m$ .

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \qquad\Rightarrow\qquad A^T =\begin{pmatrix}1&7\\ 3&8\\ 4&9\end{pmatrix}$

Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta:

$A=A^T$

Por ejemplo:

$A=\begin{pmatrix} 1&2&-1\\2&3&4\\-1&4&5\end{pmatrix}$

Los elementos situados simétricamente respecto de la diagonal principal son iguales. Por ejemplo, $a_{12}=a_{21}=2$ .

Matriz antisimétrica. Es una matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su traspuesta:

$A= -A^T$

Por ejemplo:

$A=\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&4\\1&-4&0\end{pmatrix}$

En una matriz antisimétrica de números reales, todos los elementos de la diagonal principal son necesariamente cero. Además, los elementos situados a ambos lados de la diagonal tienen signos opuestos:

$a_{ij}=-a_{ji}$

Conclusión

Una matriz es una tabla rectangular de elementos organizados en filas y columnas. Su dimensión indica el número de filas y columnas que posee, mientras que cada elemento queda determinado por la posición que ocupa. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y coinciden todos sus elementos correspondientes.

También hemos estudiado algunos de los tipos de matrices más importantes: cuadradas, nulas, triangulares, diagonales, identidad, traspuestas, simétricas y antisimétricas. Estas definiciones serán necesarias para estudiar las operaciones con matrices, los determinantes, los sistemas de ecuaciones y otros contenidos de álgebra lineal.

En la siguiente entrada de esta liga estudiaremos la suma, la resta y el producto de matrices. También veremos por qué no existe una división general de matrices y qué papel desempeña la matriz inversa.

¡Y eso es todo por ahora! Ya tienes una base sólida sobre qué son las matrices y los diferentes tipos que existen.

En la próxima entrada, veremos cómo operar con ellas: suma, resta, multiplicación… ¡y descubriremos por qué no se pueden dividir!

Siguiente entrada: Operaciones con Matrices →
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✍️ Liga de las matrices

Esta entrada forma parte de la Liga de matrices, una colección de artículos en la que estudiamos las matrices de manera progresiva, desde los contenidos de bachillerato hasta conceptos propios del álgebra lineal universitaria.

Las entradas que componen esta liga son:

¿Qué es una matriz?

Las matrices están estrechamente relacionadas con otros temas del álgebra lineal. En particular, con los determinantes y los sistemas de ecuaciones, que contarán con sus propias ligas.

✍️ Qué es una matriz: definición, tipos y ejemplos 📈