Índice

1 Introducción

Introducción

¿Alguna vez te has preguntado cuánto suman los diez primeros números? ¿y los primeros mil? ¿cuánto suman los números múltiplos de tres que no lo son de cuatro entre 100 y 300? Sí, ya sé, son preguntas un poco raras, pero la gente que se dedica a las mates a veces piensa cosas raras y luego tienen aplicaciones increíbles.

Cuando a Gauss le preguntaron de pequeño que calculase cuánto sumaban los 100 primeros números ( $1+2+\cdots+100$ ) no tardó ni cinco minutos en dar la solución correcta (puedes dejarla en comentarios ). Así desbarató la tarea que su profesor tenía pensada para una tarde.

Imagen generada con la ayuda de ChatGPT, un modelo de inteligencia artificial desarrollado por OpenAI.
Imagen con fines ilustrativos

Todos estos problemas se resuelven mediante progresiones aritméticas. Te permiten reconocer patrones, predecir valores y sumar términos de manera fácil (acaso pretendes sumar $1+2+3+\ldots+1000$ ?)

Como ya te habrá contado tu profesor en clase este tema, unido a las progresiones geométricas forman un bloque que es necesario que conozcas y domines.

En esta entrada te enseñaré todo lo necesario para que aprendas:

¿Qué es un progresión aritmética? ¿Cómo identificarla?
¿Cómo calcular el término general de una progresión aritmética?
¿Cómo sumar todos los términos de una progresión aritmética?

Todo esto te lo iré mostrando poco a poco y además mediante ejemplos para que no te quede ninguna duda.

Además te propondré algunos ejercicios basados en situaciones reales completamente resueltos y te ofreceré unos ejercicios para que practiques y te daré un enlace a mi plataforma de formación para que practiques lo que has aprendido (gratis).

Al final de la entrada, dominarás las progresiones aritméticas y tendrás una base muy sólida para comprender las siguientes: las progresiones geométricas.

🚀

¿Qué es una progresión aritmética?

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término (a partir del primero) se obtiene sumando una cantidad fija y constante al anterior. Esta cantidad se denomina diferencia o razón de la progresión

Aquí te dejo una serie de sucesiones cuya regla de formación es muy fácil de ver:

$1,2,3,\ldots$ Vamos sumando 1 (d=1).
$10,15,20,\ldots$ Vamos sumando 5 (d=5)
$2,5,8,11,\ldots$ Vamos sumando 3 (d=3).

Notación

Quiero pararme ahora y hacerte ver la importancia y el significado que tiene la notación que utilizamos.

Lo que te voy a contar ahora son errores comunes, que conviene aclararlos antes de continuar:

Para hablar de un termino en concreto usamos la notación
- La letra $a$ caracteriza a la sucesión y nada impide que uses otras letras.
- La letra $i$ indica el lugar de ese término en concreto. Siempre será un número.
Para hablar del término general de una sucesión usamos la notación $a_n$ que puedes traducir como «el término que ocupa el lugar $n$ ».
No debes confundir $a_n$ con un término en particular ni con su valor.
Por ejemplo aquí tienes dos sucesiones:
$a_n=\{1,2,3,4,5,\ldots\}$

$b_n=\{3,2,5,4,1,\ldots\}$

Como puedes ver, el primer término es $a_1 = 1$ pero $b_1=3$ . El segundo término coincide para ambos $a_2=b_2=2$

El término general de una progresión aritmética

Forma recurrente de una progresión aritmética

Si partimos de la definición de progresión aritmética tenemos que un término es el anterior más la diferencia. Esto matemáticamente se escribe

$a_n = a_{n-1}+d$

Esta fórmula es perfectamente válida, pero como veremos más adelante es un poco incómodo trabajar con ella.

Término general de una progresión aritmética

La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Donde:

$a_n$ es el término general (el que queremos calcular).
$a_1$ es el primer término de la sucesión.
$d$ es la razón.
$n$ es el número de orden del término que queremos calcular (el lugar que ocupa).

Demostración:

Partimos de la forma recurrente y vamos haciendo sustituciones «encadenadad»:

$\begin{array}{cll} a_n&=a_{n-1}+d=\\ &=(a_{n-2}+d)+d&=a_{n-2}+2d=\\&=(a_{n-3}+2d)+d&=a_{n-3}+3d=\\&=\cdots\\&=(a_{1}+(n-2)d)+d&=a_{1}+(n-1)d=\end{array}$

Ejemplo:

Tenemos la siguiente progresión aritmética

$2,5,8,11,\ldots$

Calcula el término que ocupa el lugar diez ( $a_{10}$ )

En este caso, podemos ir calculando todos los términos ya que no hay más que ir sumando 3 y son sólo 10, por lo que podríamos operar de la siguiente manera (esto es usar la fórmula recurrente).

$2,5,8,11,14,17,20,23,26,29$

Y concluir que $a_{10}= 29$

Ahora bien, ¿podrías hacer esto para calcular $a_{100}$ o $a_{1000}$ ? Es evidente que te ibas a equivocar y que te llevaría mucho mucho tiempo. Como te he dicho antes, usar la fórmula de recurrencia no es cómodo.

Por esto vamos a apoyarnos en la fórmula general.

Sabemos que:

$a_1= 2$
$d=3$
$a_n=a_{1}+(n-1)d$

Así calcular un término es muy sencillo:

$a_{10}=2+(10-1)\cdot 3= 29$

Bien, este era fácil. Pero igual de fácil es calcular $a_{100}$ o $a_{1000}$ . Te dejo la solución para que practiques a ver si llegas a la misma solución (déjamelo en comentarios ):

$a_{100} = 299$
$a_{1000}= 2999$

La suma de los términos de una progresión aritmética

La fórmula que usó Gauss para resolver la tarea de la que te he hablado al inicio de esta entrada es la siguiente

$S_n=(a_1+a_n)\cdot\frac{n}{2}$

Esta fórmula significa lo siguiente: «para calcular la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética $S_n$ sumamos el primero de ellos, $a_n$ , con el último, $a_n$ , y el resultado lo multiplicamos por el número de parejas que hay en la sucesión $\displaystyle \frac{n}{2}$ »

Demostración:

Vamos a colocar la suma de dos maneras diferentes

$\begin{array}{rrrrrrrrr}S_n&=&a_1+&a_2+&a_3+&\cdots+&a_{n-2}+&a_{n-1}+&a_n\\S_n&=&a_n+&a_{n-1}+&a_{n-2}+&\cdots+&a_{3}+&a_{2}+&a_1\\\hline2S_n&=&(a_1+a_n)+&(a_2+a_{n-1})+&(a_3+a_{n-2})+&\cdots+&(a_{n-2}+a_3)+&(a_{n-1}+a_2)+&(a_n+a_1)\end{array}$

Pero resulta que por una de las propiedades que veremos a continuación todos los paréntesis de la última fila suman lo mismo (consideramos la suma como $a_1+a_n$ , el primero y el último) y hay un total de $n$ sumandos entre paréntesis, podemos escribir:

$2S_n=(a_1+a_n)\cdot n$

Y despejando $S_n$ tenemos la fórmula pedida:

$S_n=(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}$

Ejemplo:

Calcula la suma de los primeros quince múltiplos de tres:

Nos están pidiendo esta suma

$0+3+6+\cdots+a_{15}$

Lo primero que debemos calcular es $a_{15}$ sabiendo que $a_1=0$ y que $d=3$

$a_{15}=0+(15-1)\cdot 3= 42$

Ahora ya sabemos todo lo necesario para calcular la suma pedida:

$S_{15}=(0+42)\cdot\frac{15}{2}=315$

Ejemplo:

¿Cuánto suman los 30 primeros términos de la siguiente progresión?

$1,3,5,7,\ldots$

Se trata de una progresión aritmética de la que conocemos:

$a_1=1$
$d=2$

Lo primero es calcular $a_{30}$

$a_{30}=1+(30-1)\cdot 2=59$

Ahora aplicamos la fórmula de la suma y tenemos:

$S_{30}=(1+59)\cdot\frac{30}{2}=900$

Propiedades de las progresiones aritméticas

Además de conocer cómo calcular términos y sumas, es necesario que conozcas las siguientes propiedades de las progresiones aritméticas:

1. La diferencia es constante

En una progresión aritmética, la diferencia entre cualesquiera dos términos consecutivo siempre es la misma. Esta diferencia se llama diferencia o razón y se denota como $d$ :

$d = a_{n} - a_{n-1}$

Por ejemplo, en la sucesión $3, 7, 11, 15, \dots$ , la diferencia es $r = 7 - 3 = 4$ .

2. Los términos equidistantes tienen la misma suma

Si seleccionas términos equidistantes respecto a los extremos de la progresión, su suma siempre es constante.

Por ejemplo, si consideras los términos de una progresión:

$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$

Se cumple que:

$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \dots$

Ejemplo práctico:
En la progresión $2, 5, 8, 11, 14$ :

$a_1 + a_5 = 2 + 14 = 16$
$a_2 + a_4 = 5 + 11 = 16$

3. La suma de los términos centrales

En una progresión aritmética de con un número impar de términos, el término central es igual al promedio entre el primer y el último término:

$a_{\text{central}} = \frac{a_1 + a_n}{2}$

Ejemplo práctico:
En la progresión $2, 4, 6, 8, 10$ , el término central es:

$a_3 = \frac{2 + 10}{2} = 6$

4. Relación entre la suma y la razón

La fórmula de la suma:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)$

nos indica que la suma total depende directamente de la diferencia $d$ . Si la razón aumenta, la suma total también crece linealmente.

Ejemplo práctico de las Propiedades

Considera la progresión $1, 3, 5, 7, 9$ :

La razón: $r = 3 - 1 = 2$ .
Términos equidistantes:
$a_1 + a_5 = 1 + 9 = 10 \quad \text{y} \quad a_2 + a_4 = 3 + 7 = 10.$
Término central:
$a_3 = \frac{1 + 9}{2} = 5.$

Estas propiedades son útiles para verificar cálculos y entender mejor el comportamiento de las progresiones aritméticas.

Aplicaciones de las progresiones aritméticas

Las progresiones geométricas no te las vas a encontrar en clase y ya. Algunos ejemplos de progresiones aritméticas «cotidianos» son:

Ahorro: Si consigues ahorrar 10€ en enero, 15€ en febrero y así sucesivamente, al final estás ahorrando siguiendo una progresión aritmética.
Secuencias de crecimiento: Si el tronco de un árbol aumenta en diámetro 1cm cada año, su diámetro sigue una progresión aritmética.
Cuestiones económicas: aunque no es lo habitual algunos préstamos o planes de amortización de deuda pueden seguir una progresión aritmética (normalmente necestiarás progresiones geométricas para manejarte en lo básico de matemática financiera)

Ejercicios propuestos

A continuación te dejo una serie de ejercicios que he propuesto algún día en clase o en algún examen. Espero que te sirvan:

¿Cuánto suman los múltiplos de 3 comprendidos entre 300 y 500?
¿Cuánto suman los números comprendidos entre 400 y 600 que no son múltiplos de 5?
¿Cuánto suman los múltiplos de 4, que no lo son de 3, menores de 200?

Si quieres que haga una entrada con las soluciones a estos problemas y algún otro sobre progresiones aritmética, por favor déjamelo en comentarios más abajo

Resumen final

En esta entrada hemos aprendido:

Qué es una progresión aritmética y cómo identificarla.
Cómo calcular el término general usando la fórmula.
Cómo sumar los términos de una progresión de manera eficiente.

Este tema es clave para reconocer patrones numéricos y aplicar matemáticas a problemas prácticos.

Mapa conceptual

Enlaces relacionados

Progresiones geométricas
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Otro material

Aquí te dejo un enlace a una hoja de ejercicios para que practiques.
Aquí te dejo un enlace a mi aula virtual para que chequees tu conocimiento (Próximamente).

🔢 Progresiones aritméticas: cómo calcular términos y sumas fácil 😊🎉

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