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📚🔢 Progresiones geométricas: fórmulas, ejemplos y aplicaciones paso a paso 📈✨

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por

Luis P. Martín
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Introducción

Las progresiones geométricas son un tipo de sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante llamada razón (por favor, no las confundas con progresiones aritméticas). Desde la reproducción de especies en biología hasta el crecimiento de inversiones en economía, estas progresiones aparecen en situaciones reales más de lo que imaginas.

En esta entrada te explicaré:

  1. Qué son las progresiones geométricas.
  2. Cómo calcular un término específico.
  3. Cómo sumar los primeros términos.
  4. Propiedades y demostraciones de las fórmulas clave.
  5. Ejemplos prácticos y ejercicios para afianzar lo aprendido.

¿Qué es una progresión geométrica?

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón (r).

Ejemplo:

    \[ 2, 6, 18, 54, \dots \]


Aquí r = 3, porque 6 = 2 \cdot 3 ,\, 18 = 6 \cdot 3, etc.

Gráfica de una progresión geométrica mostrando el crecimiento exponencial con una curva ascendente, ejes etiquetados y fórmula general <img decoding=» class=»wp-image-5278″ style=»border-width:1px;border-radius:10px»/>
Imagen generada con la ayuda de ChatGPT, un modelo de inteligencia artificial desarrollado por OpenAI. Imagen con fines ilustrativos

Fórmula recurrente

La fórmula recurrente define un término a partir del anterior:

    \[ a_n = a_{n-1} \cdot r \quad \text{con} \quad n \geq 2 \]

Donde:

  • a_n: Término general.
  • a_{n-1}: Término anterior.
  • r: Razón de la progresión.

Fórmula del término general

La fórmula directa para calcular un término cualquiera es:

    \[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \]

Demostración de la fórmula del término general

Partimos de la fórmula recurrente:

    \[a_n = a_{n-1} \cdot r\]


Sustituyendo ( a_{n-1} ):

    \[a_n = (a_{n-2} \cdot r) \cdot r = a_{n-2} \cdot r^2\]


Repetimos el proceso hasta llegar al primer término a_1:

    \[a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\]

Suma de los primeros ( n ) términos

La fórmula de la suma de los primeros ( n ) términos es:

    \[S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} \quad \text{si} \quad r \neq 1\]

Demostración de la suma de los primeros ( n ) términos

La suma de los términos es:

    \[S_n = a_1 + a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^2 + \dots + a_1 \cdot r^{n-1}\]


Multiplicamos ( S_n ) por ( r ):

    \[r \cdot S_n = a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^2 + \dots + a_1 \cdot r^n\]


Restamos las dos ecuaciones:

    \[S_n - r \cdot S_n = a_1 - a_1 \cdot r^n\]


Sacamos factor común en ambos miembros:

    \[S_n (1 - r) = a_1 (1 - r^n)\]


Dividimos por ( 1 – r ):

    \[S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}\]

Discusión:

  • Si r > 1, la suma crece rápidamente.
  • Si r = 1, el denominador es 0 y la suma no se puede hallar con esta fórmula. Sin embargo, como todos los términos son iguales tenemos que S_n = n \cdot a_1.
  • Si 0 < r < 1, la suma converge hacia un valor finito cuando n \to \infty, ya que en este caso r^n \to 0.

Propiedades de las progresiones geométricas

  1. Cada término es proporcional al anterior: a_n / a_{n-1} = r.
  2. La razón r es constante.
  3. La suma de términos equidistantes desde los extremos es constante.
  4. Los términos forman una progresión exponencial cuando se grafican.

Ejemplos y Ejercicios

Ejemplo 1: Calcula a_5 en la progresión 2, 6, 18, \dots.

    \[a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162\]

Ejemplo 2: Calcula ( S_4 ) en la misma progresión.

    \[S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 80\]

Mapa Conceptual

Mapa conceptual sobre progresiones geométricas con nodos de definición, fórmula del término general, suma de términos, propiedades y aplicaciones.
Imagen generada con la ayuda de ChatGPT, un modelo de inteligencia artificial desarrollado por OpenAI.
Imagen con fines ilustrativos

Ejercicios Propuestos

  1. Encuentra a_6 en la progresión 5, 15, 45, \dots.
  2. Calcula S_5 en la progresión 1, 3, 9, \dots.
  3. Una bacteria se duplica cada hora. ¿Cuántas habrá después de 8 horas?
  4. Encuentra la razón y el término general de la progresión 4, 8, 16, 32, \dots.

Resumen Final

En esta entrada hemos aprendido:

  1. Qué son las progresiones geométricas.
  2. Fórmula recurrente y del término general.
  3. Cómo sumar los primeros ( n ) términos.
  4. Propiedades y aplicaciones prácticas.

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