🏆📚 Operaciones con Polinomios Fácil y con Ejemplos ✍️ 🎯

Introducción

Índice

1 Introducción
2 ¿Qué es un polinomio?
3 Operaciones con polinomios
4 Conclusión

Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por la combinación de más de un monomio mediante sumas y restas.

Constituyen una parte esencial del álgebra y tienen aplicaciones tanto en matemáticas como en ciencias (aquí tienes una entrada sobre los polinomios desde el punto de vista algebraico).

En esta entrada aprenderás:

Qué es un polinomio y sus componentes.
Operaciones básicas: suma, resta y multiplicación por escalares. La multiplicación de polinomios, la división y la factorización de polinomios lo dejamos para otras entradas. Puedes hacer click en los enlaces si lo deseas.
Acabaré la entrada proponiéndote ejercicios prácticos para reforzar lo aprendido.

¿Qué es un polinomio?

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de uno o más monomios. Se clasifica según el número de términos y el grado. Además, es importante que conozcas el coeficiente director y el término independiente.

Ejemplo: El polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7$ tiene:

Términos: $3x^3$ , $-2x^2$ , $5x$ , $-7$ .
Grado: $3$ (el exponente más alto en las variables). El grado es el grado del monomio de mayor grado (parece un trabalenguas, sí, pero piénsalo que es bastante fácil).
Coeficientes: , , , .Dentro de estos coeficientes:
- El coeficiente del monomio de mayor grado, se llama coeficiente director o coeficiente principal y va a ser importante cuando factorices polinomios.
- El coeficiente que no tiene $x$ , es decir, el número que está solo, se llama término independiente (lógico, es independiente de la $x$ , va por libre).

Por ejemplo, a continuación te pongo una tabla que suelo poner para completar a mis alumnos de 1ESO o 2ESO. Te la doy completa, y te invito a que ordenes las filas según el grado, términos que faltan o término independiente:

Polinomio	Grado	Coef. director	Térm. indepen.	¿Falta algún término?
$ P_1(x) = x^5 – 3x^3 + 7x – 2 $	$ 5 $	$ 1 $	$ -2 $	$ x^4, \, x^2 $
$ P_2(x) = x^4 + 2x^2 – 5x + 4 $	$ 4 $	$ 1 $	$ 4 $	$ x^3 $
$ P_3(x) = -x^6 + 5x^4 – x^3 + 9 $	$ 6 $	$ -1 $	$ 9 $	$ x^5,\, x^2, \, x $
$ P_4(x) = -x^3 + 4x^2 – 6 $	$ 3 $	$ -1 $	$ -6 $	$ x $
$ P_5(x) = 2x^6 + 3x^5 – 7x^2 + x $	$ 6 $	$ 2 $	$ 0 $	$ x^4,\, x^3, \, x^0 $
$ P_6(x) = 3x^4 + x^3 – 2x $	$ 4 $	$ 3 $	$ 0 $	$ x^2, \, x^0 $
$ P_7(x) = -2x^5 + 4x^3 + 6x – 1 $	$ 5 $	$ -2 $	$ -1 $	$ x^4,\, x^2 $
$ P_8(x) = -3x^6 + 5x^2 – x $	$ 6 $	$ -3 $	$ 0 $	$ x^5, \, x^4, \, x^3,\, x^0 $
$ P_9(x) = 4x^5 – x^3 + 2 $	$ 5 $	$ 4 $	$ 2 $	$ x^4, \, x^2,\, x $
$ P_{10}(x) = x^6 + 3x^5 – x^4 + 2x^2 – 5 $	$ 6 $	$ 1 $	$ -5 $	$ x^3,\, x, x^0 $

Operaciones con polinomios

1. Suma de polinomios

Como un polinomio está compuesto de muchos monomios, cuando sumamos polinomios tan solo estamos sumano los monomios de que se componen.

Esto implica que solo vamos a poder sumar aquellos monomios que sean semejantes (igual parte literal).

Hay dos maneras de sumar polinomios:

En linea: es muy fácil que te equivoques.
Ordenndo según columnas: es la forma que te aconsejo.

Con el siguiente ejemplo, espero que te quede claro en qué consiste cada uno de los métodos.

Ejemplo: Sean $P(x)=3x^2+2x-5$ y $Q(x)=-x^2+4x+3$ . Súmalos:

Primero los vamos a sumar en línea (te coloreo los monomios según su grado):

$\begin{array}{rrl}P(x)+Q(x) &=& (3x^2+2x−5)+(-x^2+4x+3)=\\ &=&{\color{red}3x^2}+{\color{blue}2x}-{\color{ForestGreen}5}-{\color{red}x^2}+{\color{blue}4x}+{\color{ForestGreen}3}=\\ &=&2x^2+6x-2\end{array}$

Como ves puedes operar así sin ningún problema pero tienes que ser muy cuidadoso.

Vamos a ver ahora cómo hacer lo mismo, pero colocando los monomios ordenados en columnas:

$\begin{array}{rclll} P(x) &=& 3x^2&+2x&−5 \\ Q(x) &=& {-x^2}&+4x&+3 \\\hline P(x)+Q(x) &=& 2x^2&+6x&-2\end{array}$

Como ves, teniendo los monomios colocados es mucho más fácil de hacer porque es más complicado que te puedas equivocar en la suma.

Ejercicio propuesto: Suma de ambas maneras los siguientes polinomios:

$P(x)= 2x^5-3x^3+2x^2+3$
$Q(x)=-x^4+2x^3-3x$

Por favor, déjame en comentarios qué método te parece más útil.

2. Resta de polinomios

Restar polinomios implica cambiar el signo de cada término del polinomio que se resta y luego sumar los términos semejantes.

Igual que antes podemos hacerlo en línea o bien colocando los monomios en columnas según su grado.

Voy a hacerte un ejemplo de las dos maneras: 7

Ejemplo: Sean $P(x)=3x^2+2x - 5$ y $Q(x)= - x^2+4x+3$ . Opera $P(x)- Q(x)$ :

Supongo que estos polinomios te resultan familiares vamos a restarlos:

$\begin{array}{rrl}P(x)-Q(x) &=& (3x^2+2x−5) {\color{red}-} ( - x^2+4x+3)=\\ &=&3x^2+2x-5+x^2-4x-3=\\ &=&{\color{red}3x^2}+{\color{blue}2x}-{\color{ForestGreen}5}+{\color{red}x^2}-{\color{blue}4x}-{\color{ForestGreen}3}=\\ &=&4x^2-2x-8\end{array}$

Como ves el primer paso es cambiar de signo a cada uno de los monomios del polinomio $Q(x)$ .

Vamos ahora a hacerlo colocando los monomios en columnas:

$\begin{array}{rclll} P(x) &=& 3x^2&+2x&−5 \\ -Q(x) &=& +x^2&-4x&-3 \\\hline P(x)-Q(x) &=& 4x^2&-2x&-8\end{array}$

3. Multiplicación de un polinomio por un escalar

Para multiplicar un polinomio por un escalar (un número), se multiplica cada término por ese número, es decir sólo hay que multiplicar los números por el escalar que te piden.

Ejemplo: Sea $P(x)=2x^2−3x+4$ un polinomio y $k=3$ el escalar por el que hay que multiplicar. Así tenemos:

$3P(x)=3\left( 2x^2−3x+4 \right) = 6x^2-9x+12$

Si el escalar tuviese singo negativo $k<0$ entonces se debe serguir la regla de los signos. Por ejemplo teniendo el mismo polinomio $P(x)$ pero ahora $k=-2$ :

$-2P(x)=-2\left( 2x^2−3x+4 \right) = -4x^2+6x-8$

Ejercicios propuestos

Pon en práctica lo aprendido resolviendo los siguientes ejercicios:

Suma los polinomios:
- $P(x) = 3x^2 - 4$ y $Q(x) = 5x^2 - 2x + 1$ .
- $P(x) = - 3x^2 + x$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$ .
Resta los polinomios:
- $P(x) = 6x^2 - x$ y $Q(x) = 3x^2 + 4x - 5$ .
- $P(x) = x^3 - 2x^2 + x - 4$ y $Q(x) = -x^3 - 3x + 6$ .
Multiplica los siguientes polinomios por escalares:
- $P(x) = 4x^2 - 3x + 1$ , escalar $k= 5$ .
- $P(x) = 2x^3 - x + 7$ , escalar $k= -2$ .

Conclusión

En esta entrada hemos aprendido las operaciones básicas con polinomios: suma, resta y multiplicación por un escalar. Hemos visto que la clave para operar correctamente es identificar los términos semejantes y respetar las reglas algebraicas de cada operación. Además, hemos comprobado que organizar los términos en columnas facilita la suma y la resta, reduciendo errores y mejorando la claridad en los cálculos.

Dominar estas operaciones es esencial para seguir avanzando en el álgebra de polinomios, ya que serán la base para temas más complejos como la multiplicación de polinomios, la división de polinomios, la factorización y la resolución de ecuaciones algebraicas. Para reforzar lo aprendido, te recomendamos practicar con los ejercicios propuestos y compartir tus dudas en los comentarios. ¡Sigue explorando el mundo de los polinomios y mejora tu comprensión matemática! 🚀

Polinomio	Grado	Coef. director	Térm. indepen.	¿Falta algún término?
\( P_1(x) = x^5 – 3x^3 + 7x – 2 \)	\( 5 \)	\( 1 \)	\( -2 \)	\( x^4, \, x^2 \)
\( P_2(x) = x^4 + 2x^2 – 5x + 4 \)	\( 4 \)	\( 1 \)	\( 4 \)	\( x^3 \)
\( P_3(x) = -x^6 + 5x^4 – x^3 + 9 \)	\( 6 \)	\( -1 \)	\( 9 \)	\( x^5,\, x^2, \, x \)
\( P_4(x) = -x^3 + 4x^2 – 6 \)	\( 3 \)	\( -1 \)	\( -6 \)	\( x \)
\( P_5(x) = 2x^6 + 3x^5 – 7x^2 + x \)	\( 6 \)	\( 2 \)	\( 0 \)	\( x^4,\, x^3, \, x^0 \)
\( P_6(x) = 3x^4 + x^3 – 2x \)	\( 4 \)	\( 3 \)	\( 0 \)	\( x^2, \, x^0 \)
\( P_7(x) = -2x^5 + 4x^3 + 6x – 1 \)	\( 5 \)	\( -2 \)	\( -1 \)	\( x^4,\, x^2 \)
\( P_8(x) = -3x^6 + 5x^2 – x \)	\( 6 \)	\( -3 \)	\( 0 \)	\( x^5, \, x^4, \, x^3,\, x^0 \)
\( P_9(x) = 4x^5 – x^3 + 2 \)	\( 5 \)	\( 4 \)	\( 2 \)	\( x^4, \, x^2,\, x \)
\( P_{10}(x) = x^6 + 3x^5 – x^4 + 2x^2 – 5 \)	\( 6 \)	\( 1 \)	\( -5 \)	\( x^3,\, x, x^0 \)

📚 Operaciones con Polinomios Explicadas Fácilmente con Ejemplos ✍️

Introducción

¿Qué es un polinomio?

Operaciones con polinomios

1. Suma de polinomios

2. Resta de polinomios

3. Multiplicación de un polinomio por un escalar

Conclusión

Ahora es tu turno:

Comentarios y sugerencias

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

📚 Operaciones con Polinomios Explicadas Fácilmente con Ejemplos ✍️

Introducción

¿Qué es un polinomio?

Operaciones con polinomios

1. Suma de polinomios

2. Resta de polinomios

3. Multiplicación de un polinomio por un escalar

Conclusión

Ahora es tu turno:

Comentarios y sugerencias

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Aviso cookies