🌟 Igualdades Notables: Dominando el Álgebra Paso a Paso 🌟

Introducción

Las igualdades notables son herramientas fundamentales en el álgebra que permiten simplificar cálculos, resolver problemas y entender propiedades de polinomios, y en especial nos van a permitir una forma de factorizar polinomios muy elegante. En esta entrada, exploraremos a fondo las igualdades más importantes: el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta y la suma por diferencia, que son las que se explican en niveles escolares.

Pero no sólo eso, aparte de lo anterior te indicaré qué es el triángulo de Pascal o Tartaglia como puente hacia el Binomio de Newton, un concepto esencial para niveles avanzados.

Índice

1 Introducción
2 ¿Qué son las igualdades notables?
3 El triángulo de Pascal o Tartaglia

¿Qué son las igualdades notables?

Las igualdades (o productos) notables son identidades algebraicas que establecen relaciones generales entre expresiones, independientemente de los valores numéricos de las variables involucradas. Estas igualdades son «notables» porque aparecen con frecuencia en problemas algebraicos y simplificaciones.

Hay muchas: potencias de sumas y restas de binomios y trinomios, pero las más comunes incluyen:

El cuadrado de una suma.
El cuadrado de una resta.
La suma por diferencia.

Imagen generada con la ayuda de ChatGPT, un modelo de inteligencia artificial desarrollado por OpenAI. Imagen con fines ilustrativos

1. Cuadrado de una suma

La fórmula del cuadrado de una suma establece que:

$(a+b)^2 =a^2+2ab+b^2$

Explicación:

Cuando elevamos al cuadrado la suma de dos términos ( $a+ b$ ), obtenemos:

El cuadrado del primer término ( $a^2$ ).
El doble producto de ambos términos ( $2ab$ ).
El cuadrado del segundo término ( $b^2$ ).

Demostración:

La demostración es muy sencilla, basta sólo con operar el cuadrado:

$(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b)$

Y una vez aquí sólo tienes que multiplicar estos dos monomios como te expliqué en esta entrada.

Ejemplos:

Ejemplo 1: Voy a desarrollarte este primer ejemplo coloreando cada término para que puedas seguir el orden de operación:

$({\color{red} x} + {\color{blue}3})^2 = {\color{red}x^2} + 2{\color{red}(x)}{\color{blue}(3)} + {\color{blue}3^2} = x^2 + 6x + 9$

Ejemplo 2: En este ejemplo ya no te lo voy a poner con colores, pero si quieres que lo edite para agregarlos, déjamelo en comentarios

$({\color{red}2y} + {\color{blue}5})^2 = {\color{red}(2y)}^2 + 2({\color{red}2y})({\color{blue}5}) + {\color{blue}5}^2 = 4y^2 + 20y + 25$

Aplicación Práctica: El cuadrado de una suma se utiliza en geometría para calcular áreas, como la de un cuadrado cuya longitud de lado es $(a + b)$ .

También, como ya te he dicho, lo puedes usar para la factorización de polinomios como en el siguiente caso:

$P(x) = 4x^2+20x+25 = \left(2x+5\right)^2$

Estoy de acuerdo contigo en que este ejemplo es demasiado sencillo, pero créeme si te digo que estas formulillas ahorran mucho trabajo.

Demostración:

2. Cuadrado de una resta

La fórmula del cuadrado de una resta establece que:

$(a-b)^2 =a^2-2ab+b^2$

Como ves se diferencia del cuadrado de una suma en el signo menos que hay en mitad de la fórmula.

Explicación:

Cuando elevamos al cuadrado la resta de dos términos, obtenemos:

El cuadrado del primer término ( $a^2$ ).
El doble producto de ambos términos, con signo negativo ( $-2ab$ ).
El cuadrado del segundo término ( $b^2$ ).

Demostración:

La demostración es muy sencilla, basta sólo con operar el cuadrado:

$(a-b)^2 = (a-b) \cdot (a-b)$

Y una vez aquí, al igual que con el cuadrado de la suma anterior, sólo tienes que multiplicar estos dos monomios como te expliqué en esta entrada.

Ejemplo 1: Como antes, este primer ejemplo te lo voy a decorar con colores:

$({\color{red}x} -{\color{blue} 4})^2 = {\color{red}x^2} - 2({\color{red}x})({\color{blue}4}) + {\color{blue}4^2} = x^2 - 8x + 16$

Ejemplo 2: En este ejemplo, ya no te pongo colores pero si los necesitas déjamelo dicho en comentarios y edito la entrada

$({\color{red}3a} - {\color{blue}2b})^2 = {\color{red}(3a)^2} - 2({\color{red}3a})({\color{blue}2b}) + {\color{blue}(2b)^2} = 9a^2 - 12ab + 4b^2$

Aplicación Práctica: El cuadrado de una resta es útil en problemas que involucran diferencias cuadráticas, como velocidades relativas o distancias en geometría analítica.

También lo puedes encontrar en la factorización de polinomios o en la simplificación de fracciones algebraicas:

$\frac{x^2-2x+1}{x-1}= x-1$

Sí, este ejemplo es demasiado sencillo, pero me interesa más que veas la utilidad y algo menos el cómo se operan fracciones algebraicas a las que tengo dedicada una entrada.

3. Suma por diferencia

La tercera fórmula que te debes aprender es la siguiente:

La fórmula suma por diferencia establece que:

$(a+b) \cdot (a-b)= a^2-b^2$

(suma por diferencia, diferencia de cuadrados)

La igualdad notable de la suma por diferencia se expresa así: (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a – b) = a^2 – b^2

Explicación:

La suma por diferencia resulta en la diferencia de cuadrados de los términos.

Demostración:

¿Adivinas cómo hay que proceder?

$(a+b) \cdot (a-b) = a^2-b^2$

Y una vez aquí sólo tienes que multiplicar estos dos monomios como te expliqué en esta entrada.

Creo que esta es la fórmula más sencilla de comprender.

Ejemplo 1: $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$

Ejemplo 2: $(2a + 3b)(2a - 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$

Aplicación Práctica: Esta igualdad se utiliza en factorización y simplificación de expresiones algebraicas complejas.

También la puedes econtrar en pasatiempos (y no tan pasatiempos) como en Halla dos números tales que la diferencia de sus cuadrados sea 24 (Te aviso que hay una discusión muy interesante detrás de este problemilla).

El triángulo de Pascal o Tartaglia

El triángulo de Pascal es una herramienta que nos permite calcular los coeficientes en potencias de binomios de manera rápida y ordenada.

Sobre este triángulo te cuento más en esta entrada sobre el binomio de Newton, así que ahora te voy a dar unas pinceladas básicas sobre ello y te enseñaré a utilizarlo.

El triángulo tiene esta forma:

$\begin{array}{l ccc ccc ccc ccc ccc}n=0\qquad&& & & & & & & 1 & & & & & & & \\n=1\qquad&& & & & & & 1 & & 1 & & & & & & \\n=2\qquad&& & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & \\n=3\qquad&& & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & \\n=4\qquad&& & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & \\n=5\qquad&& & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & \\n=6\qquad&& 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & \\n=7\qquad&1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 \\\end{array}$

Estructura del triángulo: Cada fila del triángulo representa los coeficientes de la expansión binomial $(a + b)^n$ . Los valores de $n$ son los que ves en la columna de la izquierda.

Cada fila empieza y acaba en $1$ y cada número de una fila es la suma de los números que están situados justo encima.

Así si te fijas en la fila $3$ cuyos números son $1\quad 3\quad 3\quad 1$ cada uno de los $3$ es el resultado de sumar $1+2$ para el que está más a la izquierda y $2+1$ para el de la derecha.

Lo bueno que tiene este triángulo es que los números de una fila nos dan los coeficientes de la potencia del monomio desarrollado.

Las potencias de cada uno de los monomios siempre suman el número al que está elevado el monomio original y de tal manera que el primer término siempre va disminuyendo desde $n\rightarrow 0$ y el segundo término siempre va creciendo desde $0\rightarrow n$ .

Ejemplo: La expansión de $(a + b)^3$ con el triángulo de Pascal,: $(a + b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$

¿Qué pasa con los signos? Con esta pregunta me refiero a cómo cambian los signos según sea una potencia de una suma o de una resta:

Si la potencia es de una suma, todos los signos de los coeficientes son positivos. Tal y como te acabo de mostrar en el ejemplo anterior.
Si la potencia es de una resta, los signos se alternan ( $+,-,+,-,\ldots$ ) empezando SIEMPRE por la suma:
$\begin{aligned} (x-2)^4 &= x^4 - 4 \cdot x^3 \cdot 2 + 6 \cdot x^2 \cdot 2^2 - 4 \cdot x \cdot 2^3 + 2^4= \\ &= x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16 \end{aligned}$

Conexión con el Binomio de Newton: El Binomio de Newton generaliza la expansión de potencias mayores de un binomio, utilizando factoriales en los coeficientes: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

Donde $\displaystyle \binom{n}{k}$ son los coeficientes del triángulo de Pascal.

Pero esta conexión con el binomio de Newton la tendrás que buscar en esta otra entrada.

Ejercicios Propuestos

Expande las siguientes igualdades notables:
- $(x + 2)^2$
- $(3y - 5)^2$
- $(a + b)(a - b)$
Simplifica las siguientes expresiones:
- $(x + 4)^2 - (x - 4)^2$
- $(2x + 3)(2x - 3)$
Usa el triángulo de Pascal para expandir:
- $(a + b)^4$
- $(x - y)^3$

Conclusión

Dominar las igualdades notables es clave para trabajar con expresiones algebraicas de manera efectiva. Estas herramientas no solo simplifican el trabajo matemático, sino que también sientan las bases para conceptos más avanzados, como el Binomio de Newton.

Practica los ejercicios y explora las conexiones con otros temas del álgebra. ¡El aprendizaje continuo es la clave del éxito!

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