🧮 Operar con Polinomios: Multiplicación y Suma 📝

Este ejercicio aparece frecuentemente en los exámenes de 2º y 3º de ESO (y en ocasiones también en 4º de ESO). Su propósito es evaluar la correcta manipulación del álgebra de los polinomios.

Voy a resolverlo paso a paso tal y como lo pido en 2º de ESO. Para los alumnos de 3º y 4º de ESO, el ejercicio se amplía con la factorización del resultado.

Enunciado

Dados los siguientes polinomios:

$\begin{center}\begin{aligned}A(x) &= -x^4 - 2x^3+2x \\B(x) &=\phantom{-} 3x^2-2x+1 \\C(x) &= -3x^6-4x+1\end{aligned}\end{center}$

Calcula $A(x)\cdot B(x)- 2\cdot C(x)$

Solución:

Paso 1: Multiplicación de los polinomios $A(x)$ y $B(x)$

Para multiplicar polinomios, utilizamos el algoritmo estándar (puedes consultar su desarrollo en esta entrada).

$\begin{array}{ccc ccc c}&&&-x^4&-2x^3&&+2x&\\& & & &3x^2 & -2x&+1 \\\hline& &-x^4 & -2x^3& & 2x& \\& 2x^5& +4x^4& & -x^2& & \\-3x^6& -6x^5& &+6x^3 & & & \\\hline-3x^6& -4x^5& +3x^4& +4x^3& -4x^2& +2x& \\\end{array}$

El resultado de la multiplicación es:

Paso 2: Cálculo de $-2C(x)$

Multiplicamos el polinomio $C(x)$ por $-2$ . Para mayor claridad, lo expresamos paso a paso:

$\begin{array}{rcr}C(x) &=&-3x^6-4x+1 \\-2C(x)&=& 6x^6+8x-2 \end{array}$

Como ves, en la primera linea he escrito el polinomio $C(x)$ sin hacer nada con él. Es en la segunda linea cuando lo multiplico por $-2$ ; y muy importante, si multiplico a la izquierda del igual, debo multiplicar a la derecha del igual, lo que significa que debo multiplicar cada uno de los monomios de $C(x)$ por $-2$ .

Paso 3: Suma de los resultados parciales

Una vez que tengas todos estos resultados parciales nos queda el último paso.

Ahora sumamos los polinomios obtenidos en los pasos anteriores. Es importante alinear los términos según su grado para evitar errores.

$\begin{array}{rcr rrr rrr r}A(x)\cdot B(x) &=&-3x^6& -4x^5& +3x^4& +4x^3& -4x^2& +2x&\\-2C(x)&=& 6x^6&&&&&+8x&-2 \\ \hline A(x) \cdot B(x) -2C(x)&=& 3x^6 & -4x^5 & +3x^4 & +4x^3 & -4x^2 & +10x & -2\\\end{array}$

Resultado final:

$A(x) \cdot B(x) -2C(x)= 3x^6 -4x^5 +3x^4 +4x^3 -4x^2 +10x -2$

Reflexión sobre el método

Este procedimiento puede parecer algo lento, pero prioriza la seguridad en los cálculos. Especialmente cuando estás aprendiendo a operar con polinomios, es preferible seguir los pasos con claridad para evitar errores.

Si estás en 3º o 4º de ESO, este ejercicio incluirá un paso adicional: la factorización del polinomio obtenido.

Conclusión

Hemos resuelto el ejercicio paso a paso, organizando el cálculo para minimizar errores. Los puntos clave del procedimiento son:

Multiplicar los polinomios con el método estándar.
Multiplicar el tercer polinomio por el coeficiente dado.
Sumar los resultados obtenidos, alineando términos según su grado.

Si comprendes estos pasos, estarás listo para enfrentarte a ejercicios similares en el examen. ¡Practica y verás cómo mejoras!