📘 Cómo multiplicar polinomios paso a paso: guía completa ✏️

¿Sabías que la multiplicación de polinomios está presente en el modelado de movimientos físicos, en algoritmos de búsqueda y en la economía? Comprender cómo funciona esta operación matemática puede ayudarte a resolver problemas más allá del aula.

La multiplicación de polinomios no es solo un ejercicio mecánico que encontramos en los libros de matemáticas. En realidad, se usa en el desarrollo de modelos matemáticos en física, economía y computación. Desde el cálculo de áreas hasta la simulación de trayectorias en videojuegos, saber cómo multiplicar polinomios es una herramienta fundamental.

Como ya sabes en el blog hay varias entradas a los monomios y los polinomios:

En la entrada de hoy vamos te voy a explicar la multiplicación de polinomios.

Índice

1 Introducción
2 Como se multiplican polinomios
3 Otras consideraciones

Introducción

Antes de que me preguntes para qué sirve todo esto, te diré, que en el fondo, cuando operas con polinomios estás operando con números enteros.

Como se multiplican polinomios

Imagen generada con la ayuda de ChatGPT, un modelo de inteligencia artificial desarrollado por OpenAI. Imagen con fines ilustrativos

Hay dos grandes maneras de multiplicar polinomios, una que podemos llamar en línea y que yo, personalmente, no te recomiendo; y otra que la puedes llamar en columna, y que es la que aconsejo que aprendas a usar.

Vamos a multiplicar los mismos dos polinomios de ambas maneras y así podrás ver las diferencias:

$\begin{array}{ccr} P(x)&=&5x^4+2x^3\phantom{-2x^2}-3x+2\\ Q(x)&=& -x^2+x-1\end{array}$

Al final, en ambos casos, lo que debe ocurrir es que todos los monomios de P(x) se tienen que multiplicar por todos los monomios de Q(x).

Multiplicación en linea

En este caso, lo que hacemos en «colocar» los polinomios uno a continuación del otro (en línea) y porceder a su multiplicación:

$\begin{array}{ccc} P(x)\cdot Q(x)&=&(5x^4+2x^3-3x+2)\cdot ( -x^2+x-1)=\end{array}$

Y al multiplicar todos los monomios por todos los monomios, obtenemos los siguientes 12 sumandos (te coloreo del mismo color aquellos con el mismo grado):

$\displaystyle-5x^6+{\color{red}5x^5}-{\color{blue}5x^4 }-{\color{red}2x^5}+{\color{blue}2x^4}-{\color{ForestGreen}2x^3}+{\color{ForestGreen}3x^3}-{\color{Orange}3x^2}+3x-{\color{Orange}2x^2}+2x-2=\\ \phantom{Aquí viene} =-5x^6+3x^5-3x^4+x^3-5x^2+5x-2$

Como ves, multiplicar de esta manera nos convierte todo en un «churrofórmula» y es muy fácil equivocarse. Por ello te pido que intentes acostumbarte a multiplicar polinomios de la siguiente manera:

Multiplicación en columna

Se trata del mismo algoritmo que usamos para multiplicar números como en $4587 \cdot 365$

$\begin{array}{ccc ccc c}&&&4&5&8&7\\&&&&3&6&5\\\hline&&2&2&9&3&5\\&2&7&5&2&2&\\1&3&7&6&1&&\\\hline1&6&7&4&2&5&5\end{array}$

Siguiendo este algoritmo, lo que vamos a hacer es lo siguiente:

Colocar uno de los polinomios (te aconsejo el que más monomios tenga) en la parte superior, como si fuese el número 4587 anterior.
Colocar el otro polinomio debajo del mismo para multiplicarlo, como si fuera el número 365 anterior.
IMPORTANTE: si falta algún término (en $P(x)$ falta el término en $x^2$ ) dejas un hueco.
Empezar a multiplicar todos los términos de $Q(x)$ por todos los términos de $P(x)$ colocándolos según el grado que vaya resultando.
Finalmente sumarlo todo y calcular el resultado

$\begin{array}{rrr rrr r} &&5x^4&+2x^3&&-3x&+2 \\ &&&&-x^2&+x&-1 \\\hline &&-5x^4&-2x^3&&+3x&-2 \\ &5x^5&+2x^4&&-3x^2&+2x& \\ -5x^6&-2x^5&&+3x^3&-2x^2&& \\\hline -5x^6&+3x^5&-3x^4&+x^3&-5x^2&+5x&-2 \\\end{array}$

Espero haberte convencido de que este método es si no más fácil, sí más sencillo en el sentido de que te permite tener mayor control sobre las operaciones que estás realizando y además si en algún momento debes repasar las operaciones para encontrar un error es una manera mucho más sencilla.

Método mixto

Hay otra forma de multiplicar polinomios que es está a medio camino entre los métodos que te he explicado.

Voy a seguir con el mismo ejemplo. En este caso, lo que hacemos es empezar en línea, pero cada uno de las multiplicaciones de los monomios de $P(x)$ lo colocamos en una única linea y ordenando éstos por el grado que poseen.

Veamos:

$\begin{array}{rrr} & \left( -x^2+x-1\right) \cdot \left(5x^4+2x^3-3x+2\right) &= \\ =&-5x^6-2x^5 \phantom{-3x^4} +3x^3-2x^2 \phantom{+2x-2}&\\ & \phantom{-5x^6+}5x^5 +2x^4 \phantom{-3x^3} -3x^2 + 2x \phantom{-2}&\\ & \phantom{-5x^6+3x^5}-5x^4-2x^3 \phantom{-3x^2} +3x-2 &=\\ =& -5x^6+3x^5-3x^4+x^3-5x^2+5x-2\end{array}$

Como ves, cada una de las líneas centrales se corresponde con el producto de un monomio del polinomio $Q$ por la totalidad del polinomio $P$ .

Otras consideraciones

Puedes ver un resumen de los diferentes métodos en la siguiente tabla:

Método	Ventajas	Desventajas
En linea	Rápido cuando se domina	Fácil cometer errores por la falta de alineación
En columna	Más ordenado y estructurado	Puede parecer más largo al inicio
Mixto	Compromiso entre orden y rapidez	Requiere práctica para aplicarlo eficientemente

Errores comunes

Podrías incluir una sección sobre errores típicos que los estudiantes cometen al multiplicar polinomios, como:

No respetar los signos: por ejemplo ejemplo con $(-x^2) \cdot (-3x) = 3x^3$ y no $-3x^3$
Desorden en la suma final: siempre debes reorganizar los términos antes de sumar y dar el polinomio con sus términos organizados por grado.
Olvidar exponentes en productos como $x^3 \cdot x^2 = x^5$ y no $x^6$

🔢 Ejercicios propuestos

🟢 Nivel Básico (Multiplicación de binomios)

$(x + 2) \cdot (x + 3)$
$(2x - 1) \cdot (x + 4)$
$(x - 5) \cdot (x - 2)$

✅ Soluciones Nivel Básico

$(x + 2) \cdot (x + 3)=\color{blue} x^2 + 5x + 6$
$(2x - 1) \cdot (x + 4) =\color{blue} 2x^2 + 7x - 4$
$(x - 5) \cdot (x - 2) = \color{blue}x^2 - 7x + 10$

🔵 Nivel Intermedio (trinomio por un binomio)

$(x^2 + 3x + 1) \cdot (x + 2)$
$(x^2 - x + 4) \cdot (x - 3)$
$(2x^2 + 5x - 1) \cdot (x + 1)$

✅ Soluciones Nivel Intermedio

$(x^2 + 3x + 1) \cdot (x + 2) = \color{blue} x^3 + 5x^2 + 7x + 2$
$(x^2 - x + 4) \cdot (x - 3) = \color{blue} x^3 - 4x^2 + 7x - 12$
$(2x^2 + 5x - 1) \cdot (x + 1) = \color{blue} 2x^3 + 7x^2 + 4x - 1$

🔴 Nivel Avanzado (dos polinomios de grado mayor o igual a 2)

$(x^2 + x - 1) \cdot (2x^2 - 3x + 4)$
$(2x^3 - x^2 + 3x - 5) \cdot (x^2 + 4)$
$(3x^2 - 2x + 1) \cdot (x^2 - x + 2)$

✅ Soluciones Nivel Avanzado

$(x^2 + x - 1) \cdot (2x^2 - 3x + 4)= \color{blue} 2x^4 - 3x^3 + 4x^2 + 2x^3 - 3x^2 + 4x - 2x^2 + 3x - 4$
$(2x^3 - x^2 + 3x - 5) \cdot (x^2 + 4)= \color{blue} 2x^5 - x^4 + 11x^3 - 9x^2 + 12x - 20$
$(3x^2 - 2x + 1) \cdot (x^2 - x + 2)= \color{blue} 3x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 2x^3 + 2x^2 - 4x + x^2 - x + 2$

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