Operaciones con matrices: suma, resta y producto

En nuestra e ntrada anterior, exploramos qué son las matrices y los diferentes tipos que existen. Ahora vamos a estudiar las principales operaciones con matrices: suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices. Si continúas con toda la liga de las matrices verás cómo estas operaciones permiten trabajar con modelos de poblaciones, inversiones y muchas otras aplicaciones.

Las operaciones con matrices tienen algunas semejanzas con las operaciones entre números, pero también diferencias importantes. La más sorprendente aparecerá cuando estudiemos el producto de matrices. ¡Vamos a ello! Ahora, vamos a ver qué podemos hacer con ellas (ya te aviso que es mucho, y si sigues toda la liga llegarás a ver cómo se pueden usar para modelizar poblaciones o inversiones, por ejemplo).

Imagen generada con IA con fines ilustrativos.

Con las matrices podemos realizar distintas operaciones, aunque sus reglas no siempre coinciden con las que conocemos para los números. ¡Vamos a ello!

Operaciones con matrices: suma y resta

Esta es la operación más sencilla. Para poder sumar o restar dos matrices, es imprescindible que tengan la misma dimensión (el mismo número de filas y de columnas). La operación se realiza sumando o restando los elementos que ocupan la misma posición.

Ejemplo:

$A = \begin{pmatrix} \color{red}1 &\color{blue} 2 \\ \color{olive}3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \color{red}5 & \color{blue}6 \\ \color{olive}7 & 8 \end{pmatrix}$

$A+B = \begin{pmatrix}\color{red} 1+5 & \color{blue} 2+6 \\ \color{olive} 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

De la misma manera operamos la resta.

$A-B = \begin{pmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{pmatrix}$

Operaciones con matrices: distintos productos

Multiplicación por un Escalar (un número)

La multiplicación de una matriz $A$ por un escalar (un número real $k$ ) consiste en multiplicar todos los elementos de la matriz por dicho número. La matriz resultante tiene la misma dimensión que la original.

Ejemplo:

$k = 3, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

$k \cdot A = {\color{red}3} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}3}\cdot1 & {\color{red}3}\cdot2 \\ {\color{red}3}\cdot3 & {\color{red}3}\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$

Multiplicación de Matrices

Esta es la operación más compleja y la que requiere más atención. Para poder multiplicar dos matrices, $A \cdot B$ , el número de columnas de la primera matriz (A) debe ser igual al número de filas de la segunda matriz (B).

Si $A$ tiene dimensión $m \times n$ y $B$ tiene dimensión $n \times p$ , la matriz producto $P = A \cdot B$ tendrá dimensión $m \times p$ .

$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = P_{m \times p}$

El elemento $p_{ij}$ de la matriz producto se obtiene multiplicando, en orden, los elementos de la fila $i$ de $A$ por los elementos correspondientes de la columna $j$ de $B$ , y sumando los productos obtenidos

Ejemplo (¡y una propiedad muy importante!):

$A = \begin{pmatrix} \color{red}1 & \color{red}2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \color{red}5 & 6 \\ \color{red}7 & 8 \end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix} ({\color{red}1\cdot5 + 2\cdot7}) & (1\cdot6 + 2\cdot8) \\ (3\cdot5 + 4\cdot7) & (3\cdot6 + 4\cdot8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

Ahora, calculamos el producto en el orden inverso, $B \cdot A$ :

$B \cdot A = \begin{pmatrix} (5\cdot1 + 6\cdot3) & (5\cdot2 + 6\cdot4) \\ (7\cdot1 + 8\cdot3) & (7\cdot2 + 8\cdot4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$

Como puedes ver, los resultados son distintos. Este contraejemplo nos está mostrando una de las propiedades más contraintuitivas de las matrices: ¡la multiplicación de matrices no es conmutativa en general! ( $A \cdot B \neq B \cdot A$ ).

¿Y la División de Matrices?

A diferencia de los números reales, la operación de división de matrices como $\frac{A}{B}$ no existe. Es un error conceptual intentarlo, y en un examen, ¡tendrás penalización por ello!

Sin embargo, sí podemos hacer algo parecido (aunque te vuelvo a recordar: ¡la división de matrices no está definida!)

¿Cómo lo vamos a hacer? Bien, recordemos que, en los números reales, dividir por 5 es lo mismo que multiplicar por su inverso, $5^{-1}$ (es decir, $\frac{1}{5}$ ). En el álgebra de matrices seguimos esta segunda idea.

En determinadas ecuaciones matriciales, la matriz inversa ( $A^{-1}$ ) desempeña un papel parecido al del inverso multiplicativo de un número real. Sin embargo, no debemos interpretarlo como una división de matrices, ya que esta operación no está definida.

Pero ¿qué demonios es esto de la inversa? Bueno, en esta entrada [[Próximamente]] te lo explico. De momento debes saber que, si una matriz $A$ posee inversa $A^{-1}$ , se verifica que:

A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=I

En la siguiente entrada veremos qué matrices poseen inversa y qué condiciones deben cumplir. De momento nos quedamos con dos ideas:

Una matriz y su inversa conmutan:
$A^{-1}A=AA^{-1}$
El resultado de ambos productos es la matriz identidad.

Por lo tanto, si tenemos una ecuación matricial como $A\cdot X=B$ y queremos «despejar» $X$ , no «pasamos dividiendo» la matriz $A$ . Suponiendo que $A$ posea inversa $A^{-1}$ , multiplicamos por la izquierda ambos miembros de la ecuación por $A^{-1}$ :

$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B$

$I \cdot X = A^{-1} \cdot B$

$X = A^{-1} \cdot B$

Conclusión: No dividimos matrices; cuando la matriz correspondiente posee inversa, podemos resolver ciertas ecuaciones matriciales multiplicando por esa inversa.

La pregunta que debes hacerte ahora es: ¿todas las matrices poseen inversa o hay algunas que no?

¡Ya conoces las principales operaciones con matrices! Ahora estás listo para poner a prueba tus conocimientos.

Si quieres consultar una descripción más formal de las matrices y sus operaciones, puedes hacerlo también en la entrada dedicada a las matrices de Wikipedia.

La siguiente entrada la dedicamos la matriz inversa [[Proximamente]]

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En la siguiente entrada encontrarás una colección completa de ejercicios resueltos para que practiques todo lo que has aprendido.

Siguiente entrada: Ejercicios Resueltos de Matrices →

✍️ Liga de las matrices

Esta entrada forma parte de la Liga de matrices, una colección de artículos en la que estudiamos las matrices de manera progresiva, desde los contenidos de bachillerato hasta conceptos propios del álgebra lineal universitaria.

Las entradas que componen esta liga son:

Las matrices están estrechamente relacionadas con otros temas del álgebra lineal. En particular, con los determinantes y los sistemas de ecuaciones, que contarán con sus propias ligas.