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🔢 Examen de proporcionalidad y porcentajes de 2º ESO resuelto📊

Hoja de examen de proporcionalidad y porcentajes de 2º ESO rodeada de galletas, monedas, una zapatilla, conservas y elementos de obra.

Este examen de matemáticas para 2º ESO, realizado en enero de 2025, abarca problemas de proporcionalidad y porcentajes. Estos conceptos son fundamentales no solo para el curso, sino también para el aprendizaje matemático a lo largo de la vida académica.

1️⃣ Proporcionalidad Directa: Producción en una Fábrica de Galletas 🍪

Una fábrica de galletas produce 2400 galletas en 8 horas trabajando con una máquina:

  • ¿Cuántas galletas producirá en 12 horas si mantiene el ritmo de producción?
  • ¿Cuántas horas necesita para producir 9600 galletas?

Solución:

Se trata de un problema de proporcionalidad directa, ya que cuantas más horas esté trabajando la máquina, más galletas hará. Como ya te he comentado en clase, para resolver este problema muy recomendable organizar la información en una tabla como la que te muestro; así podemos ver la relación entre las variables más fácilmente:

    \[\begin{center} \begin{tabular}{ccc} Gallletas & Horas & Constante\\\hline\hline 2400 & 8 &\( 2400/8=300\, \text{galletas/hora} \)\\\hline {\color{red} $x$} &12 & \(300\)\\\hline 9600 & \color{red} $y$ &\( 300 \) \end{tabular}\end{center}\]

Como ves, al ser proporcionalidad directa, la constate se halla dividiendo ambas magnitudes (acuérdate Directa-Dividir). De esta manera debemos resolver dos ecuaciones muy sencillas:

    \[ \frac{x}{12}=300 \Longrightarrow x=3600 \]

    \[ \frac{9600}{y}=300 \Longrightarrow y = 32 \]

Y así tenenmos las soluciones:

  • Se harán 3600 galletas trabajando 12 horas.
  • Hacen falta 32 horas para producir 9600 galletas.
2️⃣ Proporcionalidad Inversa: Reparación de una Carretera 🚧
Un equipo de 6 trabajadores tarda 10 días en reparar un tramo de carretera.
  • ¿Cuántos días tardarían en completar el trabajo si se contratan 15 trabajadores?
  • Si el tramo debe completarse en 5 días, ¿cuántos trabajadores serían necesarios para lograrlo?
Solución:
En este problema debes usar la proporcionalidad inversa, ya que cuantos más obreros haya, menos tiempo tardará en arreglarse la carretera:
Así, lo primero es colocar los datos en una tabla similar a la anterior:
      \[\begin{center}				   \begin{tabular}{ccc}		Personas	&	Días	& Constante\\\hline\hline				6			& 10			&\( 6\cdot 10=60 \, personas\, \cdot\, dia \)\\\hline					           {\color{red} $x$} 	&5	&	\( 60 \)\\\hline					15		& \color{red} $y$	&\( 60 \)				    \end{tabular}			\end{center}\]
En este caso, al tratarse de proporcionalidad inversa, la constante se halla multiplicando ambas magnitudes; y una vez que lo has calculado todo queda en resolver dos pequeñas ecuaciones muy sencillas:
      \[ 5x=60 \Longrightarrow x=12 \]
      \[ 15y=60 \Longrightarrow y = 4 \]
Por lo que la solución es:
  • Se necesitan 12 personas para acabar el trabajo en 6 días (lógico, si es la mitad de tiempo, se necesita el doble de gente).
  • Se tardarán 4 día en arreglar la carretera con 15 personas.
3️⃣ Reparto Proporcional: Cómo Dividir un Premio en Base al Trabajo 💰
Tres amigos, Ana, Beatriz y Carlos, han trabajado juntos en un proyecto y han ganado un premio de 1800 \,  \text{\euro}. Deciden repartir el dinero de forma directamente proporcional al tiempo que cada uno dedicó al proyecto:
  • Ana trabajó 6 días.
  • Beatriz trabajó 9 días.
  • Carlos trabajó 15 días.
Calcula cuánto dinero corresponde a cada uno y justifica paso a paso el procedimiento que utilizas para resolver el problema.
Solución:
Al tratarse de un reparto directamente proporcional, lo que hacemos es ir rellenando esta tabla (yo te la doy rellena y te explico cómo lo he hecho):
      \[\begin{center}	\begin{tabular}{c||ccc}			Persona			& Días trabajo	& Dinero \\\hline\hline		Ana				&6				&	$360$\\\hline			Beatriz			&9				&	$540$\\\hline			Carlos	 		&15				&	$900$\\\hline\hline		   \textsc{Total}	& 30			& \(1800 \)	\\\hline		\end{tabular}	\end{center}	\]
¿Cómo se rellena la tabla?
  • Lo primero que debemos hacer es sumar los días que ha trabajado cada uno: 6+9+15=30 De esta manera es como si una única persona hubiese dedicado 30 días a realizar el trabajo.
  • Lo que tenemos que hacer ahora es dividir la cantidad a repartir entre el número de días que hemos obtenido:
          \[ \frac{1800}{30}=60\, \, \text{\euro}/dia\]
  • Por último multiplicamos este número por los días trabajados por cada persona y así obtenemos la última columna.
  \text{Ana: trabajó 6 días} \rightarrow 6\, \text{días} \cdot 60 \frac{\text{\euro}}{\text{día}}=360\, \text{\euro}\\  \text{Beatriz: trabajó 9 días} \rightarrow 9\, \text{días} \cdot 60 \frac{\text{\euro}}{\text{día}}=540\, \text{\euro}\\  \text{Carlos: trabajó 15 días} \rightarrow 15\, \text{días} \cdot 60 \frac{\text{\euro}}{\text{día}}=900\, \text{\euro}\\
Como ves, la suma de todo el dinero que reciben los amigos, es el total del dinero a repartir.
4️⃣ Cálculo de Descuentos e IVA en la Compra de Zapatillas 👟
Has ido a tu tienda de deportes favorita y has comprado unas zapatillas que estaban rebajadas un 60\%. Pagaste exactamente 90 \, \text{\euro}.
		Contesta a las siguientes preguntas (son preguntas independientes):
  • ¿Cuánto de esos 90 € corresponde al IVA, suponiendo que el IVA es del 20%? (en España el IVA es del 21% pero os pido el 20% para que los números sean más sencillos).
  • ¿Cuál era el precio original de las zapatillas antes de aplicar el descuento?
Solución:
Se trata de un problema sobre porcentajes y es un ejercicio típico.
  • Como tantas veces hemos hecho en clase, debemos tener en cuenta que en los 90 € está el precio de las zapatillas y además, el 20 % del precio en forma de IVA. 
    Así tenemos que:
          \[ precio+20\%\,precio=1,2\, precio=90\, \text{\euro}\]
     			
    Despejando el valor del precio tenemos:
          \[ precio =\frac{90}{1,2}= 75 \longrightarrow IVA=90-75=15\, \text{\euro} \]
  • Para la segunda pregunta debemos pensar que, puesto que está rebajado un 60% eso significa que hemos pagado un 40% (considero correcto la interpretación de «pagas un 60%», aunque esto no lo calcularé). 
    Para ello tenemos que:
          \[0,4 \cdot precio =90 \longrightarrow precio =\frac{90}{0.4}= 225 \, \text{\euro}\]
		
5️⃣ Comparación de Ofertas en el Supermercado: ¿Cuál es la Mejor Opción? 🛒
En el supermercado, has encontrado dos ofertas distintas para las conservas no perecederas:
3×2
¡¡Lleva 3, paga 2!!
¡¡2ª unidad 30% de descuento!!
¿Cuál de las dos ofertas recomendarías a tus padres? Explica tu respuesta y muestra los cálculos necesarios para justificar tu elección.
Solución:
Lo que yo espero, tal y como hemos hecho durante tres días en clase, es que justifiques de forma numérica con cuál de las dos ofertas te sale más barato la unidad de producto. Por eso te digo que son conservas no perecederas ya que con eso lo mismo puedes comprar 2 que 2000. Evidentemente si la compra fuera a estropearse, entrarían en juego otro tipo de consideraciones como ¿Cuánto tiempo tengo para consumirlo? Pero eso no es lo que quiero que analices.
Para resolver este problema, aunque no es necesario, vamos a suponer que lo que compras cuesta 1\, \text{\euro}.
  • Con la primera oferta, te llevas 3, pero has pagado 2 euros. Por lo tanto cada unidad te ha costado
          \[\frac{2}{3} \approx 0,67 \, \text{\euro}\]
    .
  • Con la segunda oferta te llevas 2 unidades, pero has pagado 1 euro por la primera y tienes un descuento del 30% en la segunda, es decir, pagas 0,70 euros, por la segunda. Al final por las dos unidades has pagado 1.70 \, \text{\euro} 
    Así cada unidad te sale a
          \[ \frac{1,7}{2} = 0,85 \, \text{\euro} \]
Como puedes ver es más económico la primera opción, sin considerar otras cuestiones como que sean alimentos perecederos, capacidad de almacenaje… que no tenemos en cuenta en este problema.
Conclusión
Estos problemas abarcan proporcionalidad y porcentajes; temas clave en matemáticas. Comprenderlos bien no solo permite resolver exámenes, sino también aplicar estos conocimientos en situaciones cotidianas como compras, planificación de tiempos o análisis de datos.»