▶ 🎖 Trigonometría 📐 ⛵

¿Así que sabes que hay algo que es común a los ángulos pero no sabes exactamente qué? Pues para eso estás aquí, en la entrada sobre trigonometría.

La trigonometría es la rama de las matemáticas que trata de la medida de los ángulos. Etimológicamente la palabra trigonometría proviene del griego y significa la medida del triángulo (tri- tres; gnomon- ángulo; metron- medida). Ya los egipcios tuvieron que usar rudimentos trigonométricos para poder construir las pirámides y poder hacer levantamientos topográficos tras las inundaciones anuales del Nilo.

Son los griegos (¡¡como no??) quienes por primera vez enfocan el estudio de la trigonometría de forma rigurosa. Lo que primero estudiarron fueron los ángulos centrales de una circunferencia y su relación con las cuerda que subtienden; y es posible que Eudoxo utilizara estas propiedades para medir el tamaño de la Tierra y la distancia relativa Tierra-Sol-Luna.

Sí, has leído bien en el párrafo anterior, Eudoxo pudo conocer la distancia relativa Tierra-Sol-Luna a través de técnicas trigonométricas. Aunque fue Aristarco de Samos quien realizó los cálculos. Y fue Eratóstenes de Cirene quien pudo medir el radio de la Tierra (se equivocó por unos pocos centernares de kilómetros!!).

Ya ves, mucho antes de que Magallanes y Elcano dieran la vuelta al mundo, unos 2000 años antes, ya se sabía que la Tierra era una esfera y gracias a la trigonometría, se conocía su tamaño y distancia al Sol y la Luna.

Pero todo esto no es más que una introducción para que veas la importancia de la trigonometría. Nos vamos a dedicar a trigonometría plana, así que ¡¡Vamos a entrar en faena!!

¿Qué es un ángulo en trigonometría plana?

Empezamos por lo más básico. Supongo que en primaria ya te habrán hablado de qué es un ángulo, y en 1ESO te lo habrán recordado, sin duda. Además yo tengo una entrada sobre ellos. No obstante voy a recordártelo de nuevo de una manera más técnica (tal y como hace Pedro Puig Adam).

📢 Dadas dos semirrectas no opuestas a y b de origen común O, llamaremos ángulo convexo ab o simplemente ángulo ab al conjunto de puntos comunes a los semiplanos: aquel cuyo borde es la recta a y que contiene a b y aquel cuyo borde es la recta b y contiene a a 🔥‼

Voy a traducirte lo anterior. Fíjate en el siguiente dibujo: en él puedes ver dos rectas a y b; y unas regiones sombreadas (verdes y moradas, sólo te he marcado una pequeña fracción de la región, ésta se extendería más allá incluso de la pantalla). Pues bien, cada una de esas regiones es lo que llamamos ángulo. Y como ves ocurre que si dividimos todo el papel por las rectas a y b, cada una de las zonas comunes es lo que llamamos ángulo.

Así, si partimos de la recta b, y vamos mirando en sentido contrario a las agujas del reloj nos encontramos con un ángulo verde (el que mira hacia el NE) que lo determinan las partes de las rectas donde están escritas las letras; después tenemos un ángulo morado entre la parte con letra de la recta a y la parte sin letra de la recta b; posteriormente vemos otro ángulo verde entre las partes de las rectas que no tienen letras; y por último un ángulo morado entre la parte de la recta a que no posee letra y la recta b.

Dos rectas dividen un plano en cuatro regiones distintas. Cada una de esas regiones es lo que llamamos ángulo.

Clasificación de ángulos

Como ya te he hablado largo y tendido sobre la clasificación de los ángulos en esta entrada, ahora te los voy a recordar sólo para que los tengas en cuenta. En esta entrada hablamos de ángulos, pero siempre desde la perspectiva de la trigonometría.

Esquema de ayuda en la clasificación de los ángulos.
  • La circunferencia se divide en cuatro cuadrantes de 90º cada uno.
  • Los ángulos que poseen menos de 90º se denominan ángulos agudos.
  • Los ángulos que poseen más de 90º se denominan obtusos.
  • Un ángulo de 90º se denomina recto.
  • Un ángulo de 180º se denomina llano.
  • Si dos ángulos suman 90º se llaman complementarios.
  • Si dos ángulos suman 180º se llaman suplementarios.

Medida de los ángulos

Hasta el momento has medido siempre los ángulos en el sistema sexagesimal que es lo que te he expuesto en el dibujo anterior. Ahora bien, los grados sexagesimales no son la medida natural ¿por qué? porque la medida natural de los ángulos es el radián.

📢 Se denomina radián al ángulo que abarca la misma cuerda que su radio 🔥‼

Atendiendo a esa definición, en una circunferencia, donde hasta el momento has contado 360º debes empezar a ver 2\pi\ rad. Así que a partir de ahora tendrás que interiorizar las medidas de los ángulos más comunes tanto en radianes como en grados sexagesimales:

  • \displaystyle 30º=\frac{\pi}{6}
  • \displaystyle 45º=\frac{\pi}{4}
  • \displaystyle 60º=\frac{\pi}{3}

Y por supuesto también todos sus múltiplos o suma de ellos, como son 120º, 105º

No te preocupes. No es difícil. Sólo hay que hacer muchos cambios… 🤣

Razones que se usan en trigonometría

Conoces muchas cuestiones sobre geometría plana, tales como cuestiones relativas a triángulos, ángulos, ángulos en la circunferencia, teorema de Pitágoras, teorema de Thales… pero ¿sabrías cómo se puede construir un triángulo rectángulo sabiendo su hipotenusa y uno de sus ángulos? No. Con lo que sabes hasta ahora, este problema se escapa de tus posibilidades. Para ello necesitas conocer nociones de trigonometría, y en particular las razones trigonométricas.

Relaciones trigonométricas de un ángulo agudo

Fíjate en el siguiente dibujo, donde puedes ver dos triángulos rectángulos que poseen en común uno de sus ángulos agudos. Ya sabes, por el teorema de Thales, que estos dos triángulos son semejantes, y por tanto las razones que calcules con los lados de uno, serán iguales a las calculadas con los lados homólogos del triángulo semejante. Pero ¿Qué 👿 son las razones trigonométricas? No te preocupes, sigue leyendo y en un plis-plás te lo explico.

Triángulo rectángulo sobre el que medimos las diferentes razones trigonométricas del ángulo \hat{B}=\beta. Los dos triángulos rectángulos semejantes \bigtriangleup\{ABC\}\sim\bigtriangleup\{EBD\} a través del Teorema de Thales garantizan que la función trigonométrica de un ángulo dado no depende sobre el triángulo en que se mide.

Te recuerdo que la notación que se usa en los triángulos es la siguiente:

  • Los vértices se nombran con letras latinas mayúsculas: A, B, C, …
  • Los lados se nombran con letras latinas minúsculas (las minúsculas corresponden con la del vértice opuesto): a, b, c,…
  • Los ángulos se nombran con letras griegas (más o menos las que corresponden a los vértices: \alpha,\ \beta,\ \gamma,\ldots

Así, y para seguir con la misma notación que aparece en el dibujo anterior tienes que:

    \[\frac{CA}{BC}=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\sin \beta\qquad \qquad \frac{BC}{CA}=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto}}=\csc \beta\]

    \[\frac{BA}{BC}=\frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}}=\cos \beta \apha\qquad \qquad \frac{BC}{BA}=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto contiguo}}=\sec \beta\]

    \[\frac{CA}{BA}=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}}=\tan \beta \qquad \qquad \frac{BA}{CA}=\frac{\text{cateto contiguo}}{\text{cateto opuesto}}=\cot \beta\]

Ahora tienes un problema: ¿cómo se leen los símbolos anteriores? Pues muy sencillo, mira la siguiente tabla:

  • \sin: se lee seno.
  • \cos: se lee coseno.
  • \tan: se lee tangente
  • \sec: se lee secante.
  • \csc: se lee cosecante.
  • \cot: se lee cotangente.

Cuando se «inventaron» los logaritmos, las funciones inversas (\sec, \csc,\cot) fueron perdiendo interés y se conservan únicamente por tradición, si bien, poco a poco van cayendo en desuso. Hay otras razones trigonométricas como el senoverso y el cosenoverso, de las que ya nadie nos acordamos.

Relación de las razones trigonométricas de un mismo ángulo

En la trigonometría te va a resultar complicado no encontrarte con fórmulas y más fórmulas. Y algunas parecen hechas para confundirte, ya las irás viendo. Sin embargo hay unas cuantas fórmulas de trigonometría que te debes saber y aprender a manejar sin esfuerzo. Entre estas están las que te voy a poner a continuación.

Seguimos con el dibujo anterior, tomemos el triángulo \bigtriangleup\{ABC\} y apliquemos el teorema de Pitágoras:

    \[\left(\frac{CA}{BC}{\right)^2+\left(\frac{BA}{BC}{\right)^2=\phantom{\left\{_2}\frac{\overline{CA}^2+\overline{BC}^2}{\overline{BC}^2}=\frac{\overline{BC}^2}{\overline{BC}^2}=1\]

Es decir:

    \[\color{blue}\fbox{\color{red}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\]

Que es la forma trigonométrica del teorema de Pitágoras. A partir de ésta se deducen otras fórmulas muy usadas en trigonometría, sin más que dividir y despejar. Así tenemos las siguientes:

Cálculo de las razones trigonométricas derivadas del teorema de Pitágoras.
  • Si tan solo despejamos la razón correspondiente obtenemos
    • \displaystyle \sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}
    • \displaystyle\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}
  • Si dividimos por \sin^2\alpha o por \cos^2\alpha , obtenemos:
    • \displaystyle\tan^2+1=\frac{1}{\cos^2\alpha}=\sec^2\alpha
    • \displaystyle1+\frac{1}{\tan^2\alpha}=\frac{1}{\sin^2\alpha} que también puedes ver como \displaystyle 1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha
  • Si despejamos la tangente de las fórmulas anteriores obtenemos:
    • \displaystyle\tan\alpha=\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}
    • \displaystyle\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}

Y ahora viene la pregunta del millón ¿me las tengo que aprender? Pues sí y no. La fórmula principal es la que te da el teorema de Pitágoras, las otras dos que ves a la izquierda son muy sencillas de aprender; y las restantes, si sabes cómo deducirlas y no te equivocas, yo te recomendaría que no te las aprendieras. Pero claro, si no sabes cómo deducirlas, entonces apréndetelas, todas 🤷.

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Como recordarás, dos ángulos son complementarios si su suma es \displaystyle 90º=\frac{\pi}{2}. Así que ahora vamos a estudiar cómo se comportan las razones trigonométricas de estos ángulos. Fíjate en el siguiente dibujo, donde te he representado una circunferencia goniométrica.

Te presento a la circunferencia goniométrica

Circunferencia goniométrica. Sobre ella se pueden calcular las razones trigonométricas de ángulos complementarios y suplementarios.

Esta circunferencia se denomina circunferencia goniométrica, y sobre ella vamos a medir las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de ángulos complementarios.

Debes saber lo siguiente sobre esta circunferencia:

  • La circunferencia se caracteriza porque tiene radio 1. Lo que quieras, pero una única unidad: 1\ mm, \ 1\ m,\ 1\ km,\ldots Esto lo hacemos para simplificar los cálculos.
  • Todos los ángulos se empiezan a medir desde la línea inferior del primer cuadrante (línea AB). Si fuesen los puntos cardinales, empezarías a medir desde el este.
  • Así el ángulo morado \color{RedViolet} (\alpha) es, en realidad el ángulo \color{RedViolet}(90-\alpha). Volveré sobre esto más adelante.

¿Y si me cuentas ya las razones trigonométricas de ángulos complementarios?

Como todo se basa en la semejanza de triángulos, vamos a pelearnos con ellos:

  • Vamos a fijarnos en el triángulo \bigtriangleup\{ABE'\}, es decir, en el ángulo \color{orange}\alpha. Claramente tenemos que:
    • \displaystyle \sin\alpha=\frac{BE'}{AE'}
    • \displaystyle \cos\alpha=\frac{AB}{AE'}
    • \displaystyle \tan\alpha=\frac{BE'}{AB}
  • Ahora fíjate en el triángulo \bigtriangleup\{AGE'\} , es decir, en el ángulo \color{RedViolet}(\alpha). ¡¡Pero ¿cómo? estos dos ángulos son complementarios!!. Sí son complementarios porque, como ya te he dicho antes, en el dibujo, cuando ves el ángulo morado \color{RedViolet}(\alpha) lo que realmente estás viendo es el ángulo recto al que hemos quitado el valor de \color{RedViolet}(\alpha), así que lo que realmente debes ver es \color{RedViolet}(90-\alpha), medido desde la línea horizontal que marca el primer cuadrante (línea AE). Yo no te lo he dibujado así porque creo que enmaraña el dibujo. Con esto en la cabeza no es difícil ver que:
    • \displaystyle \sin (90-\alpha)=\frac{GE''}{AE''}
    • \displaystyle \cos (90-\alpha)=\frac{AG}{AE''}
    • \displaystyle \tan  (90-\alpha)=\frac{GE''}{AE''}

Así que ahora la pregunta que debes hacerte es: ¿Cómo se pueden relacionar los lados de ambos triángulos? Y para esto están tus amigos Thales de Mileto y la semejanza de triángulos.

Y volviendo a los triángulos de partida (\bigtriangleup\{ABE'\} y \bigtriangleup\{AGE'\}), tenemos que:

  • Ambos son rectángulos.
  • Ambos tienen uno de los dos ángulos agudos iguales. Por este hecho, ya sabemos que ambos triángulos son semejantes.
  • Ambos poseen la misma longitud de la hipotenusa.

Por lo tanto, no es que ambos triángulos sean semejantes, es que son iguales. Y por tenemos que:

  • GE''=BE'
  • E''H=DE'
  • AE''=AE'

Y ya tenemos todo lo necesario para calcular las razones de ángulos complementarios. La tabla que te voy a poner a continuación te la debes saber como tu nombre si quieres aprobar…. 🤷

\alpha90-\alpha
\sin \alpha=\cos (90-\alpha)
\cos \alpha=\sin (90-\alpha)
\tan \alpha=\cot (90-\alpha)
Equivalencia entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios.

Razones trigonométricas de ángulos suplementarios

El razonamiento para los ángulos suplementarios es similar al de los ángulos complementarios, pero esta vez debemos tener en cuenta los signos. ¿qué quiero decir? Sencillo, en el caso anterior estábamos jugando con ángulos del primer cuadrante y las proyecciones sobre los ejes eran las razones trigonométrica que ¡oh, sorpresa! eran todas positivas, porque estaban situadas en la parte positiva de los ejes.

Ahora, con los ángulos suplementarios ocurre que, al menos una razón trigonométrica (el coseno) se va a medir sobre la parte negativa del eje X, así que ahora también juegan los signos. Aquí te dejo una circunferencia goniométrica muda para que puedas ir haciendo las operaciones que te voy a ir contando. De momento, te dejo una circunferencia sobre la que voy a ir haciendo las opraciones.

Circunferencia goniométrica para estudiar las razones trigonométricas de ángulos suplementarios.

En la circunferencia anterior puedes ver que hay un ángulo naranja \color{orange} \alpha y otro ángulo azul \color{blue} \alpha. Si tienen el mismo nombre, es porque son iguales. Pero como en la circunferencia goniométrica los ángulos se empiezan a medir desde el este, es decir, desde el punto E y en sentido contrario a las agujas del reloj; eso significa que el ángulo \color{blue}\alpha azul, realmente es \color{blue} 180-\alpha. Así pues tenemos dos ángulos que son suplementarios.

Además debes fijarte en los siguientes triángulos semejantes \bigtriangleup\{ABE'\} y \bigtriangleup\{ACE'''\} En estos triángulos podemos ver que:

  • Son rectángulos.
  • Ambos comparten el mismo ángulo agudo \alpha, lo cual significa que el tercer ángulo también es el mismo. Con esto ya sabemos que ambos triángulos son semejantes: \bigtriangleup\{ABE'\} \sim \bigtriangleup\{ACE'''\}.
  • Poseen un lado igual (la hipotenusa) por lo que, automáticamente sabemos que ambos triángulos son iguales: \bigtriangleup\{ABE'\} \equiv \bigtriangleup\{ACE'''\} y por tanto:
    • \overline{AB}=\overline{AC}
    • \overline{BE'}=\overline{BE'''}

Así que ahora tenemos:

  • Para el triángulo \bigtriangleup\{ABE'\}
    • \displaystyle \sin \alpha=\frac{BE'}{AE'}
    • \displaystyle \cos \alpha=\frac{AB}{AE'}
    • \displaystyle \tan \alpha=\frac{BE'}{AB}
  • Para el triángulo
    • \displaystyle \sin (180-\alpha)=\frac{CE'''}{AE'''} Que es igual al \sin \alpha
    • \displaystyle \cos (180- \alpha)=\frac{AC}{AE'''} Que es igual al \cos \alpha pero con signo negativo.
    • \displaystyle \tan (180- \alpha)=\frac{CE'''}{AE'''} Que es igual a \tan\alpha pero con signo negativo.

Y con esto en mente, podemos construir la siguiente tabla:

\alpha180-\alpha
\sin \alpha=\sin (180-\alpha)
\cos \alpha=-\cos (180-\alpha)
\tan \alpha=-\tan (180-\alpha)
Equivalencia entre las razones trigonométricas de ángulos suplementarios.

Y todo esto de los ángulos suplementarios y complementarios ¿para qué?

Pues muy sencillo, porque cuando estés haciendo problemas de trigonometría al final deberás discutir sobre el cuadrante en que se sitúa el ángulo estudiado; o puede que te valgan dos ángulos. Una pregunta típica puede ser que sabiendo que \sin\alpha=0.25 1.- ¿De qué ángulo se trata? 2.- Calcula sus restantes razones trigonométricas. Pero esto lo dejamos para otra entrada, que si no esta no es una entrada si no todo el portal.

Mi objetivo ahora es conseguir que aprendas las razones trigonométricas de los ángulos más importantes así que para ello vamos a estudiar dos triángulos muy peculiares a continuación: el triángulo equilátero y el triángulo rectángulo isósceles.

Trigonometría del triángulo equilátero

Aquí te muestro un triángulo equilátero y vamos a estudiar su trigonometría.

Para estudiar la trigonometría de un triángulo equilátero, lo primero que debes saber es que en él tanto los lados como los ángulos son iguales.

Para empezar ten en cuenta que en un triángulo equilátero se cumple que:

  • Todos los lados son iguales: Sea L la longitud de un lado.
  • Todos los ángulos son iguales Sea \alpha el ángulo de un triángulo equilátero, entonces \alpha=60 como te conté en esta entrada.
  • La altura de un vértice es también la bisectriz de ese ángulo y la mediana del lado opuesto.

Co lo anterior, y fijándote en el dibujo, puedes ver que se ha formado un triángulo rectángulo, escaleno, cuyos ángulos son \alpha=60, \beta=30, \gamma= 90. Lo único que debemos hallar ahora son las longitudes. Pero si usas el teorema de Pitágoras es muy sencillo ver que las longitudes del triángulo rectángulo (el coloreado) son las siguientes:

  • La base tiene longitud \displaystyle \frac{L}{2}. Este es el cateto menor.
  • La altura tiene longitud \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}L. Este es el cateto mayor.
  • La hipotenusa tiene longitud L, que coincide con el lado del triángulo euqilátero del que partíamos.

Con esto podemos, muy fácilmente hallar las razones trigonométricas de los ángulos \displaystyle 30º=\frac{\pi}{6}\ rad y \displaystyle 60º=\frac{\pi}{3}\ rad. Te las pongo a continuación (ten en cuenta que también uso las propiedades de los ángulos complementarios que hemos visto más arriba):

  • \displaystyle \sin 60=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}L}{L}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos 30

  • \displaystyle \cos 60=\frac{\displaystyle\frac{L}{2}}{L}=\frac{1}{2}=sen30

  • \displaystyle \tan 60=\frac{\sin 60}{\cos60}=\sqrt{3}=\cot 30 de donde tenemos que \displaystyle \tan 30=\frac{\sqrt{3}}{3}

Trigonometría del ángulo de 45º (\pi/4)

Ahora vamos a estudiar el triángulo rectángulo isósceles. Es decir aquel que tiene los dos catetos iguales y en el cual, por tanto, sus ángulo son \alpha=\beta=45º y \gamma =90º. Lo puedes ver en el dibujo siguiente:

Con un triángulo isósceles rectángulo podemos calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 45º=\displaystyle \frac{\pi}{4}\ rad

En este caso he llamado L a la longitud de los catetos. Es más fácil así, aunque tambiénpodría haber llamado L a la longitud de la hipotenusa y haber calculado que los catetos, en ese caso medirían \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}L. Lo puedes hacer como quieras.

El caso es que si calculas las razones trigonométricas del ángulo de 45º obtienes:

  • \displaystyle \sin 45º=\cos 45º=\frac{L}{L\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
  • \displaystyle \tan 45º=\cot 45º=1

¡¡No me digas que estas cuentas no han sido fáciles!! 🧐

Tabla resumen de las razones trigonométricas más importantes

A continuación te pongo una tabla con todas las razones trigonométricas de los ángulos más importantes del primer cuadrante.

Siento decirte que te las tienes que saber como tu nombre propio. No es difícil aprendérselas, pero es lo que hay… 🤷

\alpha (º)\alpha (rad)\sin \alpha\cos \alpha\tan \alpha
00010
30\displaystyle \frac{\pi}{6}1/2\sqrt{3}/2\sqrt{3} /3
45\displaystyle \frac{\pi}{4}\sqrt{2}/2\sqrt{2}/21
60\displaystyle \frac{\pi}{3}\sqrt{3}/21/2\sqrt{3}
90\displaystyle \frac{\pi}{2}10----
Tabla resumen de las razones trigonométricas más importantes. Hay dos opciones: saberse esta tabla; o saberse esta tabla.

Es curioso que puedes ver todas las razones trigonométricas que están en esta progresión \displaystyle \pi,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{5},\ \frac{\pi}{6} Espera un momento: \displaystyle \frac{\pi}{5} no aparece ¿por qué? Pues porque su cáculo es bastante complicado. Si quieres verlo, aquí tienes un enlace a un vídeo de mi canal de YouTube:

Por mi parte no tengo más que contarte por hoy. Espero que esta entrada te haya servido para centrarte con lo básico de la trigonométría y no tengas ya ningún problema con ello.

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▶ Gracias por leerme âœ…

Bibliografía

  • Puig Adam, P.; 1981; Curso de geometría métrica; 12ª edición; Madrid; IBSN: 84-85731-01-8

Vida de la entrada:

– 2020-12-14: Publicación.

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