🆗 ▶ Teorema de Pitágoras 👍

— Hola buenas, ¿me podrías decir un teorema? ⁉

Seguro que si le preguntas esto a cualquier persona de la calle te responderá:

—El Teorema de Pitágoras. 🙄

Este teorema es tan famoso, que casi ni importa lo que dice, 🤷 es el teorema que conoce todo el mundo. ¿Para qué se usa?, ¿Desde cuándo se conoce?, ¿Quién lo demostró?… estas preguntas ya son distintas. Pero el caso es que todos conocen el Teorema de Pitágoras.

En esta entrada te voy a responder a todas esas preguntas. Espero que te sirva.

¿Desde cuando se conoce el teorema de Pitágoras?

Aunque Pitágoras vivió en el S. VI a. C. (aproximadamente hace 2550 años), lo cierto es que el teorema, como cuestión práctica, ya era conocido por civilizaciones anteriores. Lo que ocurre es que no debes interpretar «conocido» tal y como lo haríamos ahora. Hoy en día, cuando decimos que conocemos un teorema es que sabemos las hipótesis necesarias para que se pueda usar, su demostración… pero hace tanto tiempo el conocimiento era mucho, mucho más «práctico».

En el S. VI a. C., el Antiguo Egipto, ya llevaba existiendo unos 4000 años 🗓 El Nilo se desbordaba anualmente en primavera, lo cual implicaba dos cosas: por un lado se fertilizan las tierras con el aporte de limo que hace el río; pero por otro lado, el río destruía las lindes de los campos de cultivo 😱 y es necesario volver a establecerlas. 👷 Quienes se encargaban de volver a reestablecer los límites de las tierras de cultivo eran los agrimensores del Imperio Egipcio y para ello, deben calcular los bordes de las parcelas, porque si no no serían capaces de dar a cada propietario su terreno. Hoy diríamos que se hace un levantamiento topográfico.

Además, de esta época nos quedan aún construcciones sorprendentes como las pirámides y los obeliscos.

¿Y cuál es el secreto de los egipcios? 🤷 El secreto está en que pueden medir ángulos rectos. Más bien es que pueden construirlos. Saben que si toman una cuerda de 12\ u de longitud y forman un triángulo que tenga de dimensiones 3\ u, 4\ u y 5\ u, entonces el ángulo que forman los lados más pequeños es un ángulo recto 📐. Y esto lo saben, al menos, desde hace algún milenio.

En la India utilizaban otro triángulo, también en el S. VI a. C. para trazar ángulos rectos de dimensiones 5\ u, 12\ u, 13\ u 📐 y así son capaces de levantar altares y templos hindúes sin mayor problema, pues son capaces de medir (de nuevo debes interpretar aquí medir con el significado de construir) ángulos rectos.

Por su parte en la Grecia Clásica, Tales de Mileto, en esa misma época ya conocía lo siguiente: toma un triángulo que se pueda inscribir en una circunferencia (todo triángulo se puede inscribir en una circunferencia); y tal que un lado de ese triángulo sea el diámetro de la circunferencia. Entonces ése triángulo es rectángulo y la hipotenusa es el diámetro. Lo puedes ver en la siguiente figura 🧐 donde todos los triángulos son rectángulos y uno de sus lados (hipotenusa) es el diámetro de la circunferencia.

Si en un triángulo coincide un lado con el diámetro de la circunferencia circunscrita, entonces el triángulo es rectángulo.

No se sabe si Tales llegó a preguntarse sobre la relación que existía entre los catetos de un triángulo rectángulo y la hipotenusa del mismo. Pero Pitágoras, que fue su discípulo, sí hizo avances en esta cuestión y otras muchas, al menos su academia.

Pitágoras trasformó el estudio de las matemáticas en una verdadera ciencia, considerando sus fundamentos desde un punto de vista más elevado e investigando sus teoremas bajo un enfoque más abstracto e intelectual. A él se deben también el descubrimiento de los irracionales y la construcción de los cuerpos cósmicos.

Eudemo de Rodas (a través de Proclo Diadoco, S. V d. C.).

Es decir, fue el propio Pitágoras quien transformó todo el conocimiento matemático que hasta entonces se tenía, en una disciplina científica. Se pasó así de usar determinadas reglillas «porque funcionan» a saber «por qué funcionan». Y entre otras cosas está el teorema que lleva su nombre: el Teorema de Pitágoras.

¿Qué dice el teorema de Pitágoras?

El enunciado del teorema es muy sencillo:

📢 En todo triángulo rectángulo se verifica que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa 💥 ‼

Con una figura seguro que se ve mucho mejor:

Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras

En esta figura puedes ver una representación esquemática de lo que dice el teorema de Pitágoras:

  • Los vértices del triángulo los he llamado A,\ B, \ C con mayúsculas.
  • Los lados del triángulo los he nombrado con las letras a, \ b, \ c minúsculas.
    Observa como el nombre de cada lado es igual que el del vértice opuesto, pero cambiando las mayúsculas por las minúsculas.
  • En un triángulo rectángulo, los catetos son los lados menores, mientras que la hipotenusa es el lado mayor.
  • Con esto me dice el Teorema de Pitágoras que si el triángulo es rectángulo y sus lados miden 3\ cm, 4\ cm y 5\ cm entonces puedes calcular los siguiente:

    \[3^2+4^2=5^2\]

Haz cuentas y verás que se cumple.

Pero ten mucho cuidado ✋: el teorema te pide la suma de los cuadrados, a^2+b^2; en ningún momento te dice que sea el cuadrado de la suma \left(a+b\right)^2. Puedes comprobar que no es lo mismo 🔍. Vamos a verlo con un ejemplo, pero puedes tomar los ejemplos que quieras. Toma dos números cualesquiera, por ejemplo 1 y 5:

1^2+5^2=1+25=26

\left(1+5\right)^2=6^2=36

Esto debes tenerlo muy claro y no debes confundirte. Mi experiencia me dice que siempre hay algún alumno un poco más despistado que cae en el error anterior. Si lo haces, tu profesor te lo va a calificar como mal, no porque te tenga manía, si no porque está mal, muy mal. 🤦

Pero volviendo al teorema, lo impresionante es que se puede interpretar (enunciar) de cuatro maneras distintas:

Triángulo rectángulo ➡ Se cumple el teorema de Pitágoras

Esto es lo que se llama teorema directo y es lo que te he explicado hasta ahora: si el triángulo es rectángulo, puedo calcular la suma de los cuadrados de los catetos y será igual al cuadrado de la hipotenusa.

Triángulo NO rectángulo ➡ NO se cumple el teorema de Pitágoras

Esto es lo que se llama teorema contrario, y significa lo siguiente. Imagínate que tienes un triángulo que sabes que NO es rectángulo y cuyos lados miden 15 \ cm, 10 \ cm, 23 \ cm Entonces sabes que la suma de los dos lados menores (los posibles catetos) no va a ser igual al cuadrado del lado mayor (la posible hipotenusa). Es decir, tienes:

    \begin{equation*}   \begin{align}       10^2+15^2&\neq & 23^2\\       100+225&\neq&529\\       325&\neq&529    \end{align}\end{equation*}

Por lo que el teorema contrario del teorema de Pitágoras me está diciendo que si sé que un triángulo no es rectángulo, entonces la suma de los cuadrados de los lados más pequeños (los «catetos») no es igual al cuadrado del lado mayor (la «hipotenusa»).

Se cumple el teorema de Pitágoras ➡ El triángulo es rectángulo

Esta forma de enunciar el teorema de Pitágoras se llama teorema recíproco y te dice que si tienes unas longitudes dadas, a, \ b, \ c que verfican que a^2+b^2=c^2 entonces puedes construir un triángulo rectángulo con ellas.

Esto es lo que aplicaban los egipcios y los indios para conseguir «construir» ángulos rectos.

Los egipcios usaban:

    \begin{equation*}\begin{align}3^2+4^2&= & 5^2\\9+16&=&25\\25&=&25\end{align}\end{equation*}

Los indios usaban:

    \begin{equation*}\begin{align}5^2+12^2&= & 13^2\\25+144&=&169\\169&=&169\end{align}\end{equation*}

Una pregunta típica de examen es ¿existe un triángulo rectángulo de lados…? Y tu profesor no te lo pregunta porque te tenga manía, si no porque necesita saber si comprendes el teorema de Pitágoras.

NO se cumple el teorema de Pitágoras ➡ el triángulo NO es rectángulo

Esta forma de enunciarlo, se denomina contrarrecíproco y te dice que si tienes unas longitudes dadas, a, \ b, \ c que NO verifican que a^2+b^2=c^2 entonces NO puedes construir un triángulo rectángulo con ellas.

Por ejemplo, si tenemos unas varillas de 20 \ cm, 27\ cm, 33 \ cm, ¿Podemos construir un triángulo rectángulo con ellas?

Pues lo primero que hacemos es ver si cumplen la relación que nos manda el teorema de Pitágoras:

    \begin{equation*}\begin{align}20^2+27^2&\neq & 33^2\\400+729&\neq&1089\\1129&\neq&1089\end{align}\end{equation*}

Por lo tanto, no podremos construir un triángulo rectángulo con esas longitudes. Pero quizá puedas comprobar que sí se podría construir un triángulo rectángulo cuyos lados midieran 28\ cm, \  45\ cm,\ 53\, cm.

¿Y los lados son siempre números enteros?

No. Esta es la respuesta sencilla y rápida. Por ejemplo la terna (4.5;6; 7.5) verifica que: (4,5)^2+6^2=(7,5)^2=56,25 y desde luego tanto 4,5 como 7,5 no son números enteros.

Pero aquí te puedes hacer dos buenas, muy buenas, preguntas:

  1. ¿Cuantos tripletes de números enteros cumplen el teorema de Pitágoras? Se llaman ternas pitagóricas y son infinitas.
  2. ¿Pueden ser números negativos? Pues aquí voy a hacer un poco de gallego 🙄 y te voy a responder con otra pregunta ¿existen longitudes negativas?, ¿qué significa que algo mida -2\ cm?. Me parece que ya te has contestado: una cosa es que puedas hacer que números negativos verifiquen el teorema como por ejemplo (-3)^2+4^2=(-5)^2 y otra cosa muuuuuy distinta es que esos números negativos tengan una interpretación geométrica o en la vida real.
    Este último consejo vale para cualquier problema que realices durante toda tu vida. Tienes que asegurarte de interpretar bien, tanto los datos, como los resultados.

¿Y las demostraciones?

Es posible que el Teorema de Pitágoras sea uno de los teoremas que cuentan con mayor número de demostraciones, si no es el que más demostraciones tiene. En este enlace puedes ver un libro del autor Elisah Scott Loomis con unas cuantas. Si quieres otro enlace, puedes usar este. Eso sí, están en inglés.

Por mi parte te voy a proponer una demostración muy sencilla, basada en el área de un cuadrado. A la primera persona que se lo vi hacer fue a Adrian Paenza, un gran matemático argentino. El vídeo de la demostración lo encontrarás al final de esta entrada.

Empezamos dibujando lo que ves en la siguiente figura:

Demostración del teorema de Pitágoras mediante el área de un cuadrado.
Demostración del Teorema de Pitágoras mediante el área de un cuadrado.
  • Se trata de dos cuadrados exactamente iguales (en particular, tienen la misma área que va a ser la clave de la demostración).
  • En el primer cuadrado dividimos cada uno de sus lados en los segmentos a y b, que forman los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa c.
  • Así el primer cuadrado queda dividido en un cuadrado central de lado c y cuatro triángulos rectángulos de catetos a y b y con la hipotenusa c. Fíjate que así «aparecen» cuatro triángulos rectángulos iguales en este primer cuadrado.
  • En el segundo cuadrado hemos marcado también segmentos a y b, pero los hemos colocado de otra manera.
  • Así el segundo cuadrado queda dividido en:
    • Un cuadrado de lado b
    • Un cuadrado de lado a
    • Dos rectángulos iguales de lados a y b.

Ahora que está claro como hemos dividido estos dos cuadrados iguales (con la misma área), podemos operar:

El área del primer cuadrado está dividida en cinco partes:

  • El área del cuadrado de lado c, que tiene un valor de c^2
  • Cuatro triángulos iguales, cuya área individual es \displaystyle \frac{a\cdot b}{2}, es decir que, al final, las áreas de estos cuatro triángulos suman 2ab

Por tanto el área del primer cuadrado es

    \[c^2+2ab\]

Ahora vamos con el segundo cuadrado que tiene su área dividida en cuatro partes diferentes:

  • Un cuadradito de lado a y cuya área vale a^2
  • Un cuadrado grande de lado b, y cuya área vale b^2
  • Dos rectángulos de lados a, b, cuya área individual es ab, y por tanto, en conjunto sus áreas suman 2ab

Por tanto el área del segundo cuadrado es

    \[a^2+b^2+2ab\]

Y como las áreas de estos cuadrados son iguales, podemos «igualarlas» de la siguiente manera:

    \[c^2+2ab=a^2+b^2+2ab\]

De donde obtenemos que

    \[c^2=a^2+b^2\]

Y puesto que c es la hipotenusa mientras que a y b son los catetos queda demostrado el teorema de Pitágoras.

A mí, personalmente, me parece una demostración muy sencilla y elegante. Conozco otras demostraciones con vectores y cuestiones más complicadas, pero creo que el ser sencillo es un signo de elegancia.

A continuación te pongo la bibliografía que he usado para la realización de esta entrada. Como de costumbre si tienes algo que comentar, algo no te ha quedado claro o quieres que trate un tema en concreto, por favor hazlo en comentarios 👇.

Y como siempre:

▶ Gracias por leerme âœ…

Si quieres contactar conmigo puedes hacerlo aquí 📧

Si te ha gustado lo que has leído y quieres invitarme a un café ☕, te doy las gracias por adelantado.

Bibliografía:

Demostración del teorema de Pitágoras realizada por Adrián Paenza:

[embedyt]https://www.youtube.com/watch?v=BTkSDsI1GEE&width=240&height=150[/embedyt]

Vida de la entrada:

– 2020-08-31: Publicación
– 2020-09-02: Modificadas algunas erratas. Añadido botón de Paypal

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Scroll hacia arriba