🦟▶ ¿Cuántas moscas han vivido en la Tierra? ❓🤷🏻‍♀️

Ya hemos hablado alguna vez de progresiones. En concreto hemos estudiado las progresiones aritméticas y la suma de progresiones aritméticas. Además, hace no mucho te hable de las progresiones geométricas. Pues bien, hoy vamos a cerrar el capítulo de progresiones dedicando esta entrada a ver cómo se calcula la suma de una progresión geométrica.

Fórmula para calcular la suma de una progresión geométrica

La fórmula general que calcula la suma de una progresión geométrica es:

    \[S_n=g_1\cdot \frac{1-r^n}{1-r}\qquad \text{o tambien} \qquad  S_n=g_1\cdot \frac{r^n-1}{r-1}\]

Voy a contarte de dónde sale esta fórmula, pero antes, ¿eres capaz de decirme en comentarios por qué ambas fórmulas son la misma? 👍

Deducción de la fórmula de la suma de una progresión geométrica

Ya sabes que una progresión geométrica es aquella en la que un término se obtiene a partir del anterior multiplicándolo por una cantidad dada llamada razón. Es decir, que la siguiente es una progresión geométrica:

    \[1,2,4,8,16,32,64,128,\ldots\]

cuya fórmula general es

    \[g_n=1\cdot 2^{n-1}\]

De lo que se trata ahora es de sumar los primeros n términos de esta progresión geométrica. Por ejemplo, podemos intentar sumar los 10 primeros:

    \[1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023\]

Esta suma es sencilla porque no son muchos términos y porque son números relativamente bajos y manejables, pero podrías sumar los primeros 100 términos de una progresión geométrica de fórmula \displaystyle g_n=\frac{\sqrt{2}}{5} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}? La cosa ya se pone más complicada…

Como hicimos en el caso de la suma de una progresión aritmética, voy a hacerte el ejemplo anterior y luego lo generalizamos:

Vamos a llamar S_{10} a la suma que queremos calcular y vamos a llamar 2\cdot S_{10} a su producto por la razón (en este caso r=2). Así:

    \[\begin{aligned}S_{10}&=1+2+4+8+16+32+64+128+512\\ 2\cdot S_{10}&=\phantom{1+. }2+4+8+16+32+64+128+512+1024\end{aligned}\]

¿Y si ahora restamos? Pues si ahora restamos (la segunda ecuación menos la primera) tenemos que:

    \[S_{10}=1024-1=1023\]

Vamos a generalizar el método

Sea una progresión geométrica \displaystyle g_n=g_1\cdot r^{n-1} de la cual queremos sumar los términos g_1, g_2, \ldots, g_n, es decir, queremos averiguar:

    \[S_n=g_1+g_2+g_3+\ldots+g_{n-1}+g_n\]

Si multiplicamos S_n por la razón r obtenemos:

    \[r\cdot S_n=g_1\cdot r+g_2\cdot r+g_3\cdot r+\ldots g_{n-1}\cdot r+g_n\cdot r\]

lo cual es:

    \[r\cdot S_n=g_2+g_3+g_4+\ldots+g_{n}+g_{n+1}\]

Restamos ambas ecuaciones y obtenemos:

    \[\begin{aligned} S_n&=g_1+g_2+g_3+\ldots+g_{n-1}+g_n\\r\cdot S_n&=\phantom{g_1+}g_2+g_3+ \ldots+g_{n}+g_{n+1}\\\hline (1-r)S_n&=g_1\phantom{g_2+g_3+g_4+\ldots+g_{n}}-g_{n+1}\end{aligned}\]

Con lo que despejando S_n tenemos:

    \[S_n=\frac{g_1-g_{n+1}}{1-r}=\frac{g_1-g_1\cdot r^{(n+1)-1}}{1-r}=g_1\cdot \frac{1-r^n}{1-r}\]

Vamos a comprobar este resultado para nuestro ejemplo de la progresión geométrica \displaystyle g_n=1\cdot 2^{n-1}. Queremos sumar los 10 primeros términos y sabemos qeu g_1=1 y que r=2, luego aplicamos la fórmula:

    \[S_{10}=1\cdot \frac{1-2^{10}}{1-2}=\frac{1-1024}{-1}=1023\]

¿Te acuerdas de esta progresión que te he puesto para darte ánimos 🙃 \displaystyle g_n=\frac{\sqrt{2}}{5} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}? Vamos a calcular la suma de los 100 primeros términos (te advierto que va a salir un número descomunal). Ahora es muy fácil:

    \[S_{100}=\frac{\sqrt{2}}{5}\cdot \frac{\displaystyle 1-\left(\frac{4}{3}\right)^{100}}{\displaystyle 1-\frac{4}{3}}\approx 2.65\cdot 10^{12}\]

Cuestiones a tener en cuenta

Vamos a fijarnos en la fórmula general de la suma de una progresión geométrica:

    \[S_n=g_1\cdot \frac{1-r^n}{1-r}\]

y vamos a ir discutiendo el valor de r:

  • r\neq 0 en caso contrario ¿menuda progresión geométrica donde a partir del segundo término todos son 0!
  • 0<r<1 cuando eleves r^n y n sea un número grande ¿que le va a pasar a r^n? exacto, cada vez se va a ir haciendo más y más pequeño hasta ser prácticamente cero. Por lo tanto:

        \[\displaystyle n\longrightarrow \infty \Longrightarrow S_n=g_1\cdot \frac{1}{1-r}\]

  • r=1 En este caso no nos sirve la fórmula porque tenemos

        \[S_n=g_1\cdot \frac{1-1^n}{1-1}=g_1\cdot \frac{0}{0}\]

    🤯
    Pero espera un momento que no está todo perdido. Si r=1 entonces todos los términos de g_n son exactamente iguales o lo que es lo mismo hay que sumar n términos iguales y por tanto:

        \[S_n=n\cdot g_1\]

  • r>1 En este supuesto r^n va a crecer indefinidamente así que se va a hacer tan grande como queramos cuando n sea grande. O lo que es lo mismo en este caso

        \[n\longrightarrow \infty \Longrightarrow S_n\longrightarrow \infty\]

    Esto es lo que nos ha ocurrido con la segunda suma: la razón era \displaystyle \frac{4}{3}>1 y con 100 términos ya hemos llegado al orden de los billones. Crecerá más o menos rápido, pero se trata de una serie divergente (esto es un tema que se va completamente de los propósitos de esta entrada).

Vamos a ver qué ocurre ahora cuando la razón es negativa:

  • -1<r<0 cuando eleves r^n y n sea un número grande ¿que le va a pasar a r^n? exacto, cada vez se va a ir haciendo más y más pequeño hasta ser prácticamente cero. Por lo tanto:

        \[\displaystyle n\longrightarrow \infty \Longrightarrow S_n=g_1\cdot \frac{1}{1-r}\]

  • r=1 En este caso tenemos que tener cuidado con la fórmula pues queda

        \[S_n=g_1\cdot \frac{1-(-1)^n}{1-(-1)}=g_1\cdot \frac{1-(-1)^n}{2}\]

    🤯
    ¿Y esto cuanto vale? pues depende… de n
    • Si n es par S_n=0
    • Si n es impar S_n=g_1
  • r<-1 En este supuesto r^n, en valor absoluto, va a crecer indefinidamente así que se va a hacer tan grande como queramos pero va a alternar el signo dependiendo de la paridad de n.

No me digas que no aparecen cosas chulas en la suma de una progresión geométrica.

Y ahora vamos a responder la pregunta del inicio

¿Cuántas moscas han vivido en la Tierra?

La verdad es que no lo sé, ni tampoco sé cómo lo podríamos saber.

Pero vamos a hacer una estimación:

  • Supongamos que las moscas tienen tres generaciones anuales.
  • Supongamos además que cada mosca pone 500 huevos por generación (si buscas en páginas web verás que este es un número muuuuuuuuuy corto de cuántos huevos pone una mosca), y supongamos que la mitad llegan a desarrollarse correctamente.
  • Por último, supongamos que el 1 de enero de 1900 había en la Tierra 1\, 000\,  000 de moscas (habría muchas más, pero bueno, con esto es suficiente).
  • Cuántas moscas han vivido hasta hoy (supongamos que estamos en el día 1 de enero de 2021).

Pues con esto tenemos que las moscas siguen una progresión geométrica con los siguientes parámetros:

  • g_1=1\, 000\, 000 el número de moscas del día 1 de enero de 1900.
  • r=250 que son las que van a sobrevivir para poner los huevos de la generación posterior.
  • n=3\cdot 121=363 puesto que han pasado todas esas generaciones.

Así ¿cuántas moscas han vivido? es lo mismo que sumar la progresión geométrica anterior.

    \[S_{363}=1\,000\,000\frac{1-250^{363}}{1-250}=\]

Te dejo un pantallazo de lo que me dice R sobre el resultado de esa operación:

Parece que R no es capaz de calcular cuántas moscas han vivido en los últimos 121 años en la Tierra.

Es decir, que para R, que es un muy buen programa este cálculo directamente es infinito. O sea muchas moscas, muchas.

¿Quieres saber cuán grande es el número? ¿Seguro? Pues yo lo he calculado en https://www.wolframalpha.com/ y es un número desorbitado: 875 dígitos. Es este:

11376896334790560037705986888982583655799196465268665482970043224298895657765531417579066185184163400941408718824974197189840581305705779907841188025836772098765358155461526975767905066918149532695947152154992669069037859931551405652971604166180840842389919327782092212916751587768228288356026147100798692838390040530152165848189837162325632403965336627701240023447151962429264061970811235608486045794732769897679266621182459204886878672063088025572321357130888708362936555391067292610927668201875495144641064257028112449799196787148594377510040160642570281124497991967871485943775100401606425702811244979919678714859437751004016064257028112449799196787148594377510040160642570281124497991967871485943775100401606425702811244979919678714859437751004016064257028112449799196787148594377510040160642570281124497991967871485943775100401606425702811244979919678714859437751000000

¿Qué orden de magnitud tiene? bueno, podemos redondearlo y decir que es 10^{875} Y ¿sabes una cosa? el número de átomos que se estima que existen en el universo es del orden de 10^{80} así que este número no es 10 veces mayor es 795 órdenes de magnitud mayor‼ O lo que es lo mismo, se necesitarían 795 universos como el que conocemos para juntar tantos átomos como moscas han vivido en la Tierra durante 121 años y con unas suposiciones muy conservadoras en cuanto al número de generaciones, huevos … 🤯

Y hasta aquí la entrada de hoy. Como ves, ha salido cortita y espero que te sirva 😉 👍

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Vida de la entrada:

– 2021-02-08: Publicación.

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