▶🚩 Sistema sexagesimal: tiempo y ángulos ⏳⌛

Aunque te parezca mentira no siempre se han usado las mismas unidades para las diferentes medidas. Es cierto que a lo largo del S. XIX se hicieron muchos avances en la homogeneización de la unidades pero aún quedan cuestiones que se usan desde antiguo. Uno de esas cosas es el sistema sexagesimal que aún hoy usamos para la medición de tiempo y ángulos.

Lo aprenderás en 1 ESO y luego quizá te lo recuerden en 2 ESO. Espero que cuando acabes de leer esta entrada ya no creas que 1.25 horas son 1 hora y 25 minutos 🙄 🤦

Y de esto es de lo que trata esta entrada, del sistema sexagesimal y cómo se usa.

¿De donde viene el sistema sexagesimal?

Proviene de las civilizaciones que habitaban la antigua Mesopotamia alrededor del año 3000 a.C. En la siguiente imagen puedes ver un mapa físico mudo actual de la región así como un mapa con las principales ciudades de lo que fue la Mesopotamia y que actualmente corresponden al país de Irán. Observa como Mesopotamia, el Imperio Egipcio y la Antigua Grecia están muy próximos; así que no es raro pensar que fueran pasándose el testigo de la vanguardia científica.

Los mapas anteriores no debes interpretarlos como lo que había hace 5000 años. Por ejemplo, la ciudad de Ur era un enclave sumerio a las orillas del Golfo Pérsico, donde el Eufrates desembocaba. Hoy en día ambos ríos se unen antes de desembocar conjuntamente en el Golfo (Boyer, 1968).

Base 60 de numeración

El caso es que las civilizaciones que vivieron aquí durante esta época, desarrollaron un sistema de notación en base 60; mientras que nosotros actualmente utilizamos un sistema de notación en base 10. ¿Por qué se eligió un sistema basado en el número 60? Pues porque el 60 posee muchos divisores (12 distintos), mientras que el 10 sólo posee 4 divisores (y uno de ellos es el uno y otro es el propio 10…):

    \[D(60)=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}\]

    \[D(10)=\{1,2,5,10\}\]

Esto permite dividir 60 de diez formas esencialmente distintas (no considero aquí dividir 60 entre 60 ni tampoco entre 1), mientras que el 10 simplemente se puede dividir por 2 o por 5. Lógicamente dividir por uno o por diez, en el fondo no es repartir la cantidad. Y todo esto ¿por qué? porque estas civilizaciones no manejaban con soltura los números racionales (las fracciones, ¡vaya!).

La cuestión es que desde entonces tenemos en uso el sistema sexagesimal para la medida de tiempo y de ángulos. Hubo un intento de utilizar divisiones decimales durante la Revolución Francesa, pero esto duró unos pocos meses.

Unidades para ángulos

La unidad fundamental de medida de ángulos es el grado sexagesimal. En esta entrada nos vamos a centrar en la aritmética en este sistema, pero si quieres más información sobre ángulos, triángulos y circunferencias, puedes leer esas entradas.

¿Cuántos grados tiene una circunferencia? Tiene 360º que se agrupan en cuatro cuadrantes de 90º cada uno, como puedes ver en la figura siguiente:

Circunferencia con los cuatro cuadrantes. Los ángulos se empiezan a medir desde el borde horizontal del I Cuadrante y en sentido contrario a las ajugas del reloj. Una circunferencia posee 360º divididos en cuatro cuadrantes de 90º

Cada uno de los grados, se divide en 60 minutos de grado, y cada uno de los minutos se divide en 60 segundos de grado. Se representan de la siguiente manera:

  • Grado: º
  • Minuto: '
  • Segundo: ''

Así diecisiete grados, catorce minutos y veintitrés segundos se representa: 17º\ 14'\ 23''

En nuestro sistema decimal, cuando juntas diez unidades completas una decena; y cuando reúnes diez decenas, posees una centena y así sucesivamente. Pues bien, en el sistema sexagesimal, no necesitas grupos de diez para pasar al sigueinte nivel, si no grupos de sesenta. Observa:

    \[\begin{aligned}60''=&1'\\ 60'=&1º\end{aligned}\]

Unidades para tiempo

Las unidades de tiempo las conoces muy bien.

  • La más pequeña es el segundo y se representa con una s en el Sistema Internacional de Unidades (SI).
  • La siguiente unidad es el minuto, que consta de 60\ s y se representa con las letras min en el Sistema Internacional de Unidades.
  • Por último, la unidad mayor es la hora, que consta de 60\ min y se representa con h en el Sistema Internacional de Unidades.

¿Cómo se expresan las unidades en el sistema sexagesimal?


En el SI, todo es muy sencillo. Por ejemplo, 1\ m=100\ cm o bien 1\ km=1000\ m es decir, como te he dicho antes, vamos a ir agrupando en grupos de diez.

Así podemos pasar de una unidad a otra sin mucho esfuerzo, sólo movemos la coma: 1,023 \ km=1023 \ m o bien 23.4\ mm=2.34\ cm.

En el sistema sexagesimal esto no es así. A partir de ahora cuando veas 4.15º no puedes interpretar que son 4º\ 15'. Si lo haces, tu profe, que no te tiene manía te lo va a poner como muy mal. Igualmente 6.25\ h no son 6h\ 25\ min.

Por favor 🙏 grábate el párrafo anterior a fuego 🔥; no será la primer vez que veo en un examen a alguien que dice que 1.75\ min son 1 minuto y 75 segundos 😱.

¿Y todo esto para qué? Pues todo esto porque existen dos maneras diferentes de expresar las unidades en el sistema sexagesimal.

Forma compleja

Cuando usas la forma compleja estás diciendo cuántas horas, cuántos minutos y cuántos segundos especificando todos y cada uno de ellos. Por ejemplo, las siguientes medidas están expresadas en forma compleja:

  • Dos horas, tres minutos y cuarenta y tres segundos: 2\ h \ 3\ min\ 43\ s
  • Cuarenta grados y doce con treinta y tres segundos: 40º\ 0'\ 12.33'' Observa como aquí, al no haber ningún minuto lo especifico con un 0'.

Forma incompleja

En la forma incompleja lo que haces es dar la unidad totalmente en grados o bien en horas, o bien en minutos o bien en segundos. Por ejemplo:

  • Dos con sesenta y un mil novecientos cuarenta y cuatro horas: 2.061944\ h
  • Dos mil cuatrocientos con dos mil cincuenta y cinco diezmilésimas de minuto: 2400.2055'

Cada una de las formas de expresarlo tiene sus ventajas y sus inconvenientes y se usan en situaciones diferentes; por lo que no te queda más remedio que aprender a manejar ambas formas 🤷

Cómo pasar de forma compleja a incompleja y viceversa.

¿Qué te parece si te digo que los ejemplos que te acabo de poner en los dos apartados anteriores son los mismos? Sí como lo oyes:

2\ h \ 3\ min\ 43\ s= 2.061944\ h y también 40º\ 0'\12.33''= 2400.2055'

Habrá veces que te interese expresar las unidades todas en horas o en minutos y otras veces necesitarás especificar cuántos grados, minutos y segundos tienes entre manos. Así que habrá que ver cómo pasamos de una a otra:

Cómo pasar de forma compleja a incompleja

Vamos a pasar la siguiente cantidad 2\ h\ 42\min\ 45 \ s que está expresada de forma compleja a forma incompleja.

Lo que debes hacer es lo siguiente:

  • ¿En qué unidad lo vas a expresar?, es decir ¿todo en horas?, ¿todo en minutos?, ¿todo en segundos?
  • Una vez que tengas decidido en qué lo vas a expresar tienes que pasarlo todo a esa unidad.

Pero como las cosas se ven mejor con ejemplos, vamos ha hacerlo (te aviso, si ya sabes algo de proporcionalidad directa, todos estos problemas lo son):

Todo en segundos

La pregunta que te haces es: 2\ h\ 42\ min\ 45 \ s=\???\ s

Y te pones a analizar qué conoces:

  • Aparecen 45\ s así que esos ya están bien expresados.
  • Aparecen 42\ min ¿Cuántos segundos son? Fácil, cada minuto son sesenta segundos 1\ min=60\ s por lo que si tenemos 42\ min eso significa que tenemos otros 42\cdot 60= 2520\ s.
  • Aparecen 2\ h así que ¿cuántos segundos son? Igual que antes debo pasar las horas a segundos.
    • Si las paso a minutos tengo: 2\cdot 60=120\ min
    • Si ahora lo paso a segundos, tengo: 120\cdot 60= 7200\ s

Pues ya está, mi tiempo consta de

    \[45\s+2520\ s +7200\ s= \color{red}9765\ s\]

que es la respuesta.🎉

Todo en minutos

La pregunta que te haces es: 2\ h\ 42\ min\ 45 \ s=\???\ min

Y te pones a analizar qué conoces:

  • Hay 42 \ min que ya están expresados correctamente. No los toco.
  • Tengo 2\ h que hay que pasar a minutos. Ya hemos visto que son 2\ h=120\ min
  • ¿Que hago con los 45\ s? En este caso hay que dividir por 60 y obtengo que 45\ s =0.75 \min

Pues ya tengo todo lo que necesito, en este caso la solución es:

    \[120+42+0.75=\color{red}162.75\ min\]

Todo en horas

La pregunta que te haces es: 2\ h\ 42\ min\ 45 \ s=\???\ h

Vamos a analizar qué conocemos:

  • Tenemos ya 2\ h. Estas no las tocamos.
  • Debemos averiguar cuantas horas son 42\ min. Dividimos por 60 y tenemos que 42\ min= 0.7\ h
  • Por último nos queda averiguar cuántas horas son 45\ s:
    • Los pasamos a minutos: dividimos por 60 y tenemos que 45\ s=0.75\ min
    • Pasamos esos minutos a horas, para lo que volvemos a dividir por 60: 0.75\ min =0.0125\ h

Y ya lo tenemos todo, sabemos que el resultado en horas es:

    \[2+0.7+0.0125=\color{red}2.7125\ h\]

Cómo pasar de forma compleja a incompleja

En este caso vamos a pasar, en el sistema sexagesimal, desde la forma incompleja 396.89' a la forma compleja.

Vamos a dividir la cantidad en dos partes, porque las cosas se vuelven más fáciles:

  • A la izquierda de la coma, se sitúa la parte entera del número, es decir 396' de ángulo.
  • A la derecha de la coma, aparece la parte decimal del número, es decir 0.89' de ángulo.
Trabajamos con la parte entera.

En este caso tenemos 396' y debemos averiguar cuántos grados, minutos y segundos de ángulo son🤷

Sólo tenemos minutos y son más de 60, así que vamos a pasarlos a la unidad mayor. Para ello dividimos por 60 (ya sabes, 60'=1ºðŸ˜‰)

    \[396=60\cdot 6+36\]

Esto significa que en 396' hay 6º y aún sobran 36' de ángulo.

Con esto hemos acabado con la parte entera. Vamos con la decimal.

Trabajamos con la parte decimal.

Debemos averiguar cuantos segundos de arco son 0.89'. Como pasamos de una unidad mayor (el minuto) a una unidad menor (el segundo) lo que debemos hacer es multiplicar por 60:

    \[0.89\cdot 60=53.4\]

Lo cual significa que 0.89'=53.4''

Solución

Ya lo tenemos todo:

    \[396.89'=\color{red} 6º\ 36'\ 53.4''\]

Aritmética en el sistema sexagesimal

En este apartado te voy a explicar cómo sumar y restar unidades dadas en el sistema sexagesimal; te explicaré la suma con unidades de tiempo y la resta con unidades de ángulos. En el siguiente apartado te explico cómo multiplicar y dividir por un número:

Sumas de tiempos

Imagina que haces una etapa del Camino de Santiago, por ejemplo Sarriá-Portomarín que son unos 22\ km. Más o menos a mitad de trayecto te encuentras en Ferreiros. Has tardado 2.298\ h en llegar hasta allí, y la última parte de tu ruta (hasta Portomarín) tardas en recorrerla 3\ h\ 45\ min \ 38\ s. ¿Cuánto tiempo has tardado en total?

Evidentemente, debes sumar los tiempos. Tienes dos opciones:

  1. Pasa todo a forma incompleja, sumas y el resultado lo pasas a forma compleja.
  2. Lo pasas todo a forma compleja y lo sumas.

Yo te lo voy a hacer de ambas maneras.

Trabajando en forma incompleja

En este caso debes saber cómo expresar en horas 3\ h\ 45\ min \38\ s. Esto es lo que acabamos de hacer, así que ya eres todo un experto. Escribes (tienes que redondear):

    \[3\ h 45\ min \38\ s=3.76056\]

Ahora sumas ambas cantidades:

    \[3.76056+2.298=6.05856\]

Por último lo pasas a horas, minutos y segundos:

    \[6.05856=\color{blue}6\ h\   3\ min \    30.82\ s\]

Y eso es lo que has tardado.

Trabajando en forma compleja

En este caso, lo primero es convertir la cantidad de 2.298\ h que son: 2.298\ h=2 \ h\ 17\ min \ 52.8\ s

Ahora debo sumar ambas cantidades. Para ello hago una tabla donde coloque en una columna las horas, en otra columna los minutos y en otra columna los segundos, y sumamos columna a columna:

    \[\begin{tabular}{rrr}    3\ h &45\ min& \ 38.0\ s\\    +\ 2\ h &17\ min &\ 52.8\ s\\\hline   5\ h& 62\ min & 90.8\ s\end{tabular}\]

Pero alto ahí✋🛑 ¿Te das cuenta que te salen 62 minutos y 90.8 segundos? Este resultado lo tienes que asear, es decir, ponerlo bonito: resulta qeu 90.8\s =1\ min\ 30.8\ s y que 62\ min=1\ h \ 2\ min Así que el resultado final es:

    \[\color{blue} 6\ h\ 3\ min\ 30.8\ s\]

¿Adivinas de dónde salen esos 3\ min? Déjamelo en comentarios👍

Resta de ángulos en el sistema sexagesimal

En este caso vamos a restar a un ángulo de 123º 45' 2'' otro de 36.7569º. Igual que antes tengo dos formas de hacerlo: o lo hago todo en forma compleja o lo hago todo en forma imcompleja.

Allá vamos‼

Trabajando en forma incompleja

En este caso debemos, antes de nada, convertir 123º 45' 2''. Pero a estas alturas tú ya eres un experto y sabes perfectamente que:

    \[123º 45' 2''=123.7506º\]

Ahora tan sólo restamos y volvemos a transformar a forma compleja:

    \[123.7506º-36.7569º=86.9937º=\color{blue}86º59'37.32''\]

Fin. Rápido y sencillo. Vamos a complicarnos un poco la vida.

Trabajando en forma compleja

En este caso tenemos que pasar 36.7569º, pero esto ya lo sabes hacer tú también:

    \[36.7569º=\color{blue}36º45'24.84''\]

Ahora restamos y para ello colocamos los ángulos igual que antes haciendo coincidir los grados con los grados, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos.

    \[\begin{tabular}{rrr}123º &45' & 2''\phantom{.00}\\-\ 36º &45' & 24.84''\\\hline\end{tabular}\]

🧐 ¿Cómo vas a restar 24.84'' a 2''? no se puede; así que nos las tenemos que apañar para que podamos restar.

La idea es pasar uno de los minutos del minuendo a segundos, así ya no tenemos 2'' si no 62'' y sí podemos operar. Pero con ello, lo que ocurre es que se descompensan los minutos ¿Qué hacemos? Lo mismo; convertimos un grado a minutos y se los adjudicamos a esa columna. Al final tienes esta operación ya dispuesta a ser restada:

    \[\begin{tabular}{rrr}122º &104' & 62.00''\\-\ 36º &45' & 24.84''\\\hline86º& 59' & 37.16''\end{tabular}\]

Así que la solución es:

    \[\color{red}86º\ 59' \ 37.16''\]

Sin embargo esta solución no es la misma que antes. ¿Por qué? Porque cada vez que pasas de forma compleja a incompleja o viceversa te ves obligado a redondear, y eso se traduce en que los resultados pierden exactitud.

De todas formas la diferencia es de 0.16'' lo cual es muy, muy poquito.

Multiplicación y división en el sistema sexagesimal

Esta es la parte más fácil de toda la entrada. Los ángulos y tiempos sólo se pueden multiplicar por números «normales» (todo lo normal que es un número en 1ESO).

Multiplicación en forma compleja

Imagina que te piden multiplicar 2\ h\ 37\ min \ 55 \ s por 5.34. Pues vas multiplicando cada parte por 5.34 y luego lo pones bonito como antes.

  • 2\ h\cdot 5.34=10.68\ h= 10\ h\ 40\ min\ 48\ s
  • 37\ min\cdot 5.34=197.58=3\ h \ 17\ min\ 34.8 \ s
  • 55\ s\cdot 5.34=293.7\ s =4\ min\ 53.7\ s

Ahora sumamos todos los resultados parciales y obtenemos que la solución es:

    \[14\ h \  3\ min \  16.5\ s\]

Multiplicación en forma incompleja

La multiplicación en forma incompleja es mucho más fácil. Imagina que tienes este ángulo \alpha= 34.567º y quieres multiplicarlo por 19.45 Pues simplemente lo haces y ya está:

    \[34.567\cdto 19.45=672.3281º\]

Y si ahora quieres pasarlo a grados, minutos y segundos, pues… tú mismo 😉

División en forma compleja

Igual que antes, imagina que tienes un ángulo de 234º\ 45'\ 56'' y necesitas dividirlo por 3.1 Pues divides cada una de las partes y luego lo pones bonito.

  • 234º:3.1\approx 75.48387= 75º29'1.94''
  • 45:3.1\approx 14.51643=14'30.97''
  • 56'':3.1\approx 18.06452=18.06''

Por último lo ponemos todo junto:

    \[75º29'1.94''+14'30.97''+18.06''=75º43'50.97''\]

División en forma incompleja

Y ahora es muchíisimo más fácil. Simplemente tomas los números y los divides. Ya está. Nada más.

Imagina que quieres dividir 14.56\ h entre 7.23. Pues divides y ya está:

    \[14.56:7.23\approx 2.01383\ h=2\ h\ 0\ min \ 49.79\ s\]

🔁

Y hasta aquí la entrada de hoy. ¿Te ha resultado útil? ¿Ya sabias de qué iba la cosa?

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Bibliografía:

  • Rey Pastor, J.; Babini, J.; 2000; Historia de la matemática (2 volúmenes); Ed. GEDISA; Madrid; ISBN: 978-84-9784-780-3
  • Boyer, C. B.; 1968; Historia de la matemática; Ed. Alianza Universidad Textos; Madrid; 84-206-8094-X

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Vida de la entrada:

– 2021-01-25: Publicación.

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