▶ 🚩 Función, conjunto y aplicación 📈 🥇

Las funciones se empiezan a ver en 3ESO y se entra de lleno en ellas a partir de 4ESO. En bachillerato lo que se hace es profundizar en el conocimiento y análisis de las mismas. Te voy a intentar explicar lo que es una función, pero lo voy a hacer a través de conjuntos y aplicaciones entre conjuntos de números.

Esta entrada trata sobre qué es una función. Te voy a contar qué condiciones tiene que cumplir para que lo puedas llamar función y te daré ejemplos de fórmulas que sin ser funciones sí nos sirven para representar objetos matemáticos.

Definición de función

Si tomas cualquier libro de análisis matemático y buscas qué es una función, podrás leer la siguiente definición o una muy parecida:

📢 Una función f:A\longrightarrow \mathbb{R} es una aplicación de un subconjunto A\subset \mathbb{R} en \mathbb{R}, es decir a cada x\in A le corresponde un valor f(x)\in \mathbb{R} ‼🔥

(Alfonsa, 2007)

Y todo esto ¿qué significa? Me imagino que si estás estudiando 4ESO (o 3ESO) no habrás entendido casi nada de lo aparece en el cuadro anterior. Voy a tratar de explicártelo.

Conjunto y subconjunto

Supongo que no tendrás mucho problema en saber qué es un conjunto: «Una colección de elementos».

Por ejemplo, diversos conjuntos son:

  1. Los números naturales.
  2. Los habitantes de España.
  3. La producción de panes de una panadería.

Asimismo un subconjunto es una parte de otro conjunto mayor. Por seguir nuestros ejemplos anteriores:

  1. Dentro de los números naturales podemos considerar los números pares, o los impares, o los múltiplos de 5, o aquellos que dejan resto 2 si se dividen por 3…
  2. Los propios números naturales son un subconjunto de los enteros, estos de los racionales, los racionales de los reales y los reales de los complejos.

        \[\matbb{N}\subset\matbb{A}\subset\matbb{Q}\subset\matbb{R}\subset\matbb{C}\]

  3. Dentro de los habitantes de España podemos considerar sólo a las mujeres, o sólo a los varones, o sólo a los habitantes de Toledo, o sólo a los nacidos en el año 2000…
  4. Dentro de la producción de panes de una panadería se pueden considerar las hogazas, las baguettes, los bollitos, el pan de molde…

Creo que no es necesario seguir con esto ¿verdad? Voy a explicarte el concepto de aplicación que es un poco más complicadete.

Qué es una aplicación

Una aplicación es una correspondencia entre dos conjuntos, esto es, una regla que pone en relación elementos de dos conjuntos diferentes. De tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno de los elementos del segundo conjunto. Esta restricción sólo aplica para los elementos del primer conjunto, a los elementos del segundo conjunto se puede llegar por uno o varios caminos diferentes.

El primer conjunto (el de salida) se denomina dominio, mientras que el segundo conjunto (el de llegada) se denomina imagen (aunque por alguna razón que desconozco en la ESO se llama recorrido 🤷).

A continuación te pongo algunos ejemplos y te los explico:

Ejemplos

1.- La aplicación que hace corresponder cada número natural con su doble:
Función (aplicación) biyectiva entre el conjunto de los números naturales y su doble (conjunto de los números pares).
Ejemplo visual gráfico de una apliación que asigna a cada número natural, su doble. En notación matemática se escribe de la siguiente manera

    \[\displaystyle \begin{aligned} f:&\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}\\ &x\longrightarrow 2x\end{aligned}\]

Puedes ver como en el conjunto de partida (dominio) se sitúan los números naturales (vamos a considerar el 0 como un número natural, aunque ya sabes que hay quien no lo considera así).

¿Y en el conjunto de llegada (imagen)? Este conjunto está constituido simplemente por los números naturales pares.

Observa como la relación entre ambos conjuntos es UNO A UNO esto es a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto y viceversa.

2.- La aplicación que hace corresponder cada número entero con su cuadrado:
Esquema de la aplicación (función) que hace corresponder el conjunto de los números enteros con el de  sus cuadrados.
Ejemplo visual gráfico de una aplicación que asigna a cada número entero, su cuadrado. En notación matemática se escribe de la siguiente manera

    \[\displaystyle \begin{aligned} f:&\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Z}\\ &x\longrightarrow x^2\end{aligned}\]

En este caso, el dominio son todos los números enteros, mientras que la imagen está constituida por los números que son cuadrados perfectos, lo cual, en concreto implica que son números naturales (positivos, ¡vaya!) porque el cuadrado de un número siempre es positivo…

Ahora observa como cada imagen posee dos orígenes distintos (salvo el 0), luego la relación entre ambos conjunto NO ES UNO A UNO.

Otra cuestión que debes observar es la siguiente:

  • ¿Observas que al número 25 no llega ninguna flecha? Eso es porque no he dibujado el origen en el primer conjunto. Dale un poco 🧐 al coco y déjame en comentarios cuál crees tú que es el origen.
  • ¿Qué pasa con el 8? Te lo pongo porque quiero hacerte hincapié en que si estamos tratando con números enteros, entonces el número 8 no es cuadrado de ninguno. Sin embargo, si estuviéramos hablando de números racionales o de números reales, ¿entraría en el conjunto imagen? También espero tu respuesta en comentarios 👇
3.- La aplicación que hace corresponder cada número con su opuesto
Esquema de Venn donde se representa una aplicación (función) que hace corresponder cada número con su opuesto.
Ejemplo visual gráfico de una aplicación que asigna a cada número real, su opuesto. En notación matemática se escribe de la siguiente manera

    \[\displaystyle \begin{aligned} f:&\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\\ &x\longrightarrow -x\end{aligned}\]

En el esquema están representados únicamente números enteros, pero puesto que el enunciado nos dice que son números reales, esto implica que el dominio son todos los números reales.

Como el opuesto de un número es único, en este caso también tenemos que esta relación es UNO A UNO. Y aún podemos decir más: el conjunto inicial y el conjunto final son el mismo. Se trata del conjunto de los números reales.

4.- La aplicación que hace corresponder cada número con su inverso

Esquema que representa la aplicación (función) que relaciona el conjunto de los números reales con su inverso (a excepción del 0).
Ejemplo visual gráfico de una aplicación que asigna a cada número real, su inverso. En notación matemática se escribe de la siguiente manera

    \[\displaystyle \begin{aligned} f:&\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\\ &x\longrightarrow 1/x\end{aligned}\]

En este ejemplo tenemos que el dominio son todos los números reales… ¿seguro? todos no. El número 0 no tiene inverso, así que no pertenece al dominio; y como el 0 tampoco es el inverso de ningún número, tampoco pertenece a la imagen. Pero puesto que todos los números reales a excepción del 0, lo que se representa como \mathbb{R}^* [\mathbb{R}^*=\mathbb{R}-\{0\}], tienen inverso; resulta que haciendo las restricciones oportunas del dominio, la relación también es UNO A UNO.

Tipos de aplicaciones (función)

Esto no te lo van a contar en clase, pero puesto que tenemos los esquemas anteriores, podemos dar una «clasificación» de las aplicaciones según el número de caminos que haya entre los elementos del conjunto inicial y el conjunto final.

Te voy contar las definiciones que aparecen en el libro de Linés (1991), pero no de la manera que aparecen ahí, si no adaptado a algo que puedas entender. Vamos a fijarnos siempre en lo que ocurre en el conjunto imagen y cómo llegamos hasta él.

Aplicación o función inyectiva

📢 Se dice que una aplicación es inyectiva cuando dos elementos distintos del dominio tienen siempre dos imágenes distintas. ‼🔥

(adaptado de Linés, 1991)

Y ¿todo esto qué significa? pues significa que sólo se puede llegar a cada elemento de la imagen desde un único elemento del dominio. Este es el caso, por ejemplo, en el que la aplicación relaciona un número con su doble o un número con su opuesto.

    \[f(x)=2x\qquad\qquad f(x)=-x\qquad \text{son aplicaciones inyectivas}\]

Por otro lado la aplicación que relaciona cada número con su cuadrado no puede ser inyectiva, puesto que para llegar a un número (imagínate el 4) existen dos caminos diferentes: el que parte de 2 y el que parte de -2

Aplicación o función suprayectiva o sobreyectiva o exhaustiva

📢 Se dice que una aplicación es suprayectiva si cada elemento del conjunto imagen está en relación con, al menos, un elemento del conjunto dominio ‼🔥

(adaptado de Linés, 1991)

¿Pero esto no es lo mismo de antes? No. Volvamos con nuestros ejemplos:

  • La aplicación que relaciona cada número, natural, con su doble f(x)=2x es inyectiva, pero no puede ser suprayectiva, ya que, por ejemplo, no puedo llegar al 3, puesto que no es el doble de ningún número natural.
  • La aplicación que relaciona cada número con su opuesto f(x)=-x sí es suprayectiva, ya que el dominio es \mathbb{R} y el recorrido también es también \mathbb{R}

Aplicación o función biyectiva

📢 Se dice que una aplicación es biyectiva si cada elemento del conjunto imagen está en relación con uno y sólo un elemento del dominio. ‼🔥

(adaptado de Linés, 1991)

Esto es precisamente lo que te he remarcado antes como relación UNO A UNO: cada elemento del dominio tiene una imagen, y cada elemento de la imagen tiene un único elemento del dominio como punto de partida.

Ejemplos de aplicaciones biyectivas es aquella que asigna a cada número su opuesto.

La ventaja de una aplicación biyectiva es que «se puede deshacer», es decir, para cualquier aplicación biyectiva, existe otra aplicación que revierte los efectos de la primera.

No me voy a meter en estas cuestiones pero puedes darte cuenta de que la función logaritmo es biyectiva, y su inversa es la función exponencial. Por ejemplo, \log_5=125=3, y también 5^3=125 ¿Te das cuenta como una vez fijada la base de un logaritmo el valor de cualquier número es único? y es más, podemos deshacer el logaritmo sin más que elevar la base convenientemente (función exponencial).

Por otro lado, una parábola como y=x^2 al no ser inyectiva, no puede ser biyectiva, es decir, si sabemos que la imagen de un número es y=4 ¿de qué número hemos partido del x=2 o bien del x=-2?

Las funciones inyectivas están bien, muy bien; pero las biyectivas son geniales 🤣

Y hasta aquí la entrada de hoy. Como ves, ha salido cortita y espero que te sirva 😉 👍

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Bibliografía

  • García, A.; García, F., López, A., Rodríguez, G., de la Villa, A.; 2007; Cálculo I: Teoría y problemas de análisis matemático en una variable; Ed. CLAG; Madrid; ISBN: 978-84-821847-2-9.
  • Linés, E.; 1991; Principios de análisis matemático; Ed. Reverté; Barcelona; ISNB: 978-84-291-5072-8.

▶ Gracias por leerme âœ…

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Vida de la entrada:

– 2021-02-01: Publicación.

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