👍🏻 🥇 El principio de adición ❓ ➕

En una caja tienes tres pañuelos de colores (rojo, verde y negro), A=\{R, V, N\} y en la caja de al lado tienes fichas con las cinco volales minúsculas B=\{a,e,i,o,u\} Ahora te piden que elijas una caja al azar y saques uno de sus elementos. ¿De cuántas maneras diferentes lo puedes hacer? ¡¡¡Bienvenido al principio de adición!!!

Qué es el principio de adición

El principio de adición ➕ nos permite saber de cuántas maneras diferentes pueden darse la unión de varios sucesos (voy a utilizar en esta entrada una notación orientada hacia el cálculo de sucesos y probabilidad).

La definición de este principio para dos conjuntos diferentes (en nuestro ejemplo una caja con calcetines y otra con las vocales) es la siguiente:

Sean A y B son dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente (en nuestro ejemplo, elegir un pañuelo o una vocal). Si el suceso A ocurre de m maneras distintas y el B de n maneras distintas, entonces el suceso A o el B se podría ocurrir de m + n maneras distintas,

Se puede generalizar fácilmente a n sucesos (conjuntos) siempre y cuando sean independientes (disjuntos). Si los sucesos no fueran independientes, deberíamos utilizar el principio de inclusión-exclusión que te explico en otra entrada.

Sean A_1\cdots A_n conjuntos finitos, tales que A_i \cap A_j = \emptyset para cada i, j \in \{1, \cdots, n\} y con i \neq j. Entonces se verifica que:

|A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n| = |A_1| + |A_2| + \cdots+ |A_n|

Ejemplos útiles del principio de adición

Ejemplo 1

Supongamos que en tu armario tienes dos pantalones P=\{P_1, P_2\}, tres camisetas C=\{C_1,C_2, C_3\} y dos abrigos A=\{A_1, A_2\}. Estás a oscuras, y necesitas una prenda, así que tomas una al azar. ¿De cuántas maneras diferentes puedes elegir una prenda?

Fíjate, que el problema no te dice ¿De cuántas maneras diferentes te puedes vestir? que sería cuestión a resolver con el principio de multiplicación; si no que te preguntas cuántas formas diferentes hay de elegir una única prenda al azar.

Para ello tenemos 2 formas diferentes de elegir un pantalón, tres maneras distintas de elgir una camiseta y dos abrigos, por lo tanto, el principio de adición nos asegura que

    \[|P\cup C\cup A|=|P|+|C|+|A|=2+3+2=7\]

Por lo tanto, tienes 7 formas diferentes de elegir una prenda al azar.

Ejemplo 2

Queremos cruzar un río una única vez, y para ello disponemos de dos sólidos puentes, una pasarela y tres canoas. ¿De cuántas maneras diferntes podríamos cruzarlo?

Igual que antes, sólo necesitamos un medio de transporte, por lo que son sucesos disjuntos: o cruzo por un puente, o por la pasarela o en canoa. El principio de adición nos asegura que hay

    \[2+1+3=6\]

Por tanto tenemos 6 formas diferentes de cruzar el río. Elige la que quieras.

Ejemplo 3

Juan quiere estudiar en la universidad. Para ello revisa cuatro facultades y las diferentes carreras qeu allí se imparten. Obtiene lo siguiente:

  • Facultad de ciencias:
    • Grado en químicas.
    • Grado en físicas.
    • Grado en matemáticas.
    • Grado en informática.
  • Facultad de ingeniería:
    • Ingeniero industrial.
    • Ingeniero informático.
  • Facultad de derecho:
    • Grado en derecho.
    • Grado en ciencas políticas.
    • Grado en filosófía.
  • Facultad de filología:
    • Grado en Filología hispánica.
    • Grado en Filología hebrea.
    • Grado en Literatura universal.
    • Grado en Literatura comparada.

¿De cuántas maneras diferentes puede empezar sus estudios Juan?

Evidentemente son sucesos disjuntos (es decir que si empiezas una carrera, no empiezas ninguna de las demás). Así que el principio de adición nos dice que Juan puede empezar:

    \[4+2+3+4=13\]

Es decir tiene 13 posibilidades de empezar sus estudios universitarios.

Ejemplo 4

Para ir desde mi casa al centro de la ciudad tengo la opción de tomar 4 líneas de autobuses distintos, un taxi o ir en una de las dos bicicletas que tengo en el garaje. ¿De cuántas maneras puedo ir al centro de la ciudad?

A estas alturas de la entrada supongo que no tendrás ningún problema para ver que el principio de adición nos permite calcular que tengo

    \[4+1+2=7\]

formas diferentes de llegar hasta el centro de la ciudad.

Ejemplo 5

La biblioteca de mi pueblo está dividida en las siguientes secciones, donde puedes ver el número de libros que hay en cada una:

  • Sección infantil: 150 libros
  • Sección novela de aventuras: 345 libros
  • Sección cocina: 102 libros.
  • Sección artes: 479 libros.

Si cada uno de los habitantes del pueblo podemos sacar un libro cada vez, ¿de cuantas maneras diferentes podemos hacerlo?

Claramente este es un ejemplo para el principio de adición, que te dice que tienes

    \[150+3456+102+479=1076\]

formas diferentes de elegir un libro.

Resumen del principio de adición

Yo te he enfocado el principio de adición hacia los sucesos y el cálculo de probabilidades y estadística. Espero que no tengas problemas para trasladarlo a otros ámbitos como la teoría de conjuntos.

Estos ejemplos que te he puesto podrían haberse complicado, y mucho 🙃 si nos hubiesen pedido elegir dos prendas de ropa al azar o en la biblioteca nos dejasen sacar cada vez 4 libros diferentes (si quieres complicarlo aún más puedes intentar ver qué pasaría si los libros tuviesen que ser de la misma sección, de diferente sección o diese igual de qué sección de la biblioteca).

Como ves todo esto se puede complicar y contar estas posibilidades es a lo que se dedica la combinatoria, además para resolverlo tendrías que echar mano del principio de multiplicación, combinaciones, variaciones y permutaciones con o sin repetición. Pero todo esto son otras historias.

Y hasta aquí la entrada de hoy. Como ves, es un principio muy sencillo de entender y espero que te haya quedado todo claro. De todas maneras, si quieres dejarme algo en comentarios, por favor ¡¡hazlo!! 😉 👍

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Vida de la entrada:

– 2021-07-05: Publicación.

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