🚩 ➗ Fracción continua ¿En serio? ¿Qué es eso? 🤷🏻‍♀️ 🎖

Si alguna vez has oído hablar de fracciones generatrices, probablemente sea durante tu etapa en la ESO, pues es en esa etapa cuando se estudian y te habrás peleado con cómo hallar una fracción cuya expresión decimal sea un número decimal (decimal exacto, decimal periódico puro o decimal periódico mixto). Es más, tu profe que no te tiene manía te habrá dicho que hay dos grandes tipos de números (en realidad hay muchos más): aquellos que se pueden expresar como una fracción, que son los racionales y aquellos que no se pueden expresar como fracción, que son los irracionales.

Pero lo que seguro que no te ha dicho es que también hay una forma de expresar números irracionales mediante fracciones. Se trata de expresarlos en forma de fracción continua, que es de lo que trata esta entrada.

No voy a profundizar sobre las fracciones generatrices de números racionales, a pesar de que te lo voy a recordar a continuación. Hoy de lo que te quiero hablar es del hecho de que cualquier número real se puede representar mediante una fracción continua (ya he dedicado dos entradas sobre números reales: aquí y aquí).

En primer lugar te voy a recordar cómo saber si un número racional, escrito en forma de fracción dará lugar a un número decimal exacto, decimal periódico puro o decimal periódico mixto; y paralelamente te recordaré cómo calcular la fracción generatriz de un número decimal.

Una vez hecho lo anterior (que no será muy largo), pasaremos a estudiar las fracciones continuas. Y espero que al final sepas por qué la aproximación que usaba Aquímedes \displaystyle \pi\approx \frac{22}{7} es, de alguna manera, la mejor que puedes dar (pero para saberlo tendrás que leer hasta el final 😉

Una cosa más, el hecho de que todos los números reales se puedan expresar como fracciones continuas se debe a que \mathbb{R} es un cuerpo algebraico cerrado por sucesiones. Pero esto es otra guerra. 🎖

Números decimales y fracciones

A continuación te voy a recordar cómo hallar las fracciones generatrices de distintos números. Si quieres una explicación más detallada, te recomiendo esta entrada.

Número decimal exacto (DE) 🔵

Como sabes un número es decimal exacto si su parte decimal es finita como en 3, 45 o bien 9,01239. No importa cuántas cifras decimales haya (pueden ser tres decimales o tres millones), el caso es que son finitas y llega un momento en que el número se acaba.

La fracción generatriz de estos números decimales exactos se construye escribiendo ✍ en el numerador el número en cuestión y en el denominado una potencia de 10 con tantos ceros como dígitos tenga la parte decimal. Para los números anteriores las fracciones generatrices son:

    \[3,45=\frac{345}{100}=\frac{69}{20}\]

    \[9,01239=\frac{901239}{100000}\]

Cuando hallas la descomposición factorial del denominador, puedes comprobar que siempre aparecen potencias de dos o potencias de cinco: SÓLO potencias de dos o potencias de cinco.

Número decimal periódico puro (DPP) 🟢

Un número es decimal periódico puro si la parte decimal está formada por un bloque de números que se repite indefinidamente justo después de la coma, algunos ejemplos son: 4,1111\ldots; \, 7,8989\ldots

Hallar la fracción generatriz es un poco más complicada y te remito a la entrada que hice para ello, pero te pongo aquí las fracciones generatrices de los números anteriores:

    \[4,1\ldots=\frac{37}{9}\]

    \[7,89\ldots=\frac{782}{99}\]

Si descompones en factores primos los denominadores anteriores, podrás ver que NUNCA aparecen potencias de dos o potencias de cinco.

Número decimal periódico mixto (DPM) 🟠

Los números decimales periódicos mixtos son aquellos en que su parte decimal está compuesta por un bloque de cifras que se repite indefinidamente, pero no lo hace justo después de la coma si no que hay al menos una cifra justo después de la coma que no forma parte del período. Números de este estilo son, por ejemplo 2,{\color{red}1}454545\ldots o 1,{\color{red}\boldmath 27}888888\ldots

Estos son quizá, los números más complicadetes para hallar la fracción genertriz, pues primero hay que transformarlos en números periódicos puros. Aunque, a decir verdad, tampoco es que el algoritmo sea especialmente delicado.

Las fracciones generatrices de los números anteriores son:

    \[2,14545\ldots= \frac{118}{55}\]

    \[2,278888\ldots=\frac{2051}{900}\]

Observando el denominador de esta fracción puedes ver que en su descomposición factorial aparecen siempre una potencia de dos o una potencia de cinco además de potencias de otros factores primos.

En resumen

Los números DE, DPP y DPM son siempre números racionales, ya que se pueden expresar en forma de fracción, cociente o razón entre dos números enteros.

Tipos de decimales según la descomposición factorial del denominador de una fracción

¿Qué es una fracción continua?

Una fracción continua es una fracción encadenada donde el denominador está constituido por una suma de un número entero y otra fracción; y el denominador de esta última fracción está constituido también por la suma de un número entero y una fracción; y el denominador de esta última fracción… bueno, creo que ya vas viendo por donde vamos con las fracciones continuas. Al final tienes algo parecido a esto:

    \[\sqrt{2}=1+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\ddots}}}}\]

El problema de la aproximación

No hace mucho tiempo era frecuente utilizar la siguiente aproximación de \pi que ya utilizó Arquímedes: \displaystyle \pi\approx \frac{22}{7} Pero la pregunta que podemos hacernos es ¿por qué los séptimos? y ¿si elegimos los octavos? ¿los veintisieteavos?

Otra cuestión común, para aquellos que estudiéis dibujo técnico es la siguiente: seguro que en tu clase te han dado la forma general de construir un polígono de n lados con regla y compás ¿verdad? pues bien no todos los polígonos se pueden construir con regla y compás, sólo aquellos que cumplen unos requisitos muy concretos (no me voy a meter ahora en eso). ¿Qué ocurre entonces en la clase de dibujo técnico? pues que vuelves a utilizar la aproximación \displaystyle \pi\approx \frac{22}{7}.

¿Y es buena esa aproximación? Depende para qué lo estés usando:

    \[\frac{22}{7}-\pi=0.001264\ldots\]

Así que el error que cometes es menor que una centésima (de hecho es poco más que una milésima). Yo con esta aproximación no me arriesgaría a mandar una persona a la Estación Espacial Internacional, pero sí es suficientemente buena como para manejarte en tu día a día en la escuela.

La cuestión es que hemos sustituido un número no sólo irracional, si no trascendente (\pi), por un número racional, y esta sustitución nos permitirá hacer cuentas de una forma más cómoda; pero pagaremos el peaje de la exactitud. Esta fracción \displaystyle \frac{22}{7} no es \pi y al usar la una en lugar del otro, vamos a cometer un error que deberemos tener en cuenta para validar nuestros cálculos. Por ejemplo:

  • Yo con esta aproximación no mando un satélite al espacio.
  • Pero sí me sirve para calcular el área de una plaza de toros, ya que soy consciente que el error que voy a cometer es asumible.

¿Por qué aproximamos números con fracciones?

Nos vamos a fijar sobre todo en el denominador de un número racional. Es decir, de una fracción \displaystyle \frac{a}{b} nos vamos a fijar en el número b. Además, no nos vamos a fijar en todos los números racionales, si no solamente en aquellos que están en el intervalo [0,1] Lo vamos a hacer así porque conocido lo que pasa con un número dentro de ese intervalo podemos replicarlo en cualquier itervalo de la forma [n, n+1]

Es decir, la diferencia entre \displaystyle \frac{3}{8} y \displaystyle \frac{11}{8} es:

    \[\frac{11}{8}-\frac{3}{8}=1\]

Con lo cual podemos decir que lo que le ocurra a \displaystyle\frac{3}{8} en el intervalo [0,1] es lo mismo que le ocurrirá a \displaystyle \frac{11}{8} en el intervalo [1,2]. Y así sucesivamente.

Así si tenemos un número real \alpha y lo aproximamos por una fracción \displaystyle\frac{a}{b} el error que cometemos al usar la fracción en vez del número es

    \[\left| \alpha-\frac{a}{b}\right|\]

Por lo tanto

📢 Dar la expresión aproximada de un número real \alpha en forma de una fracción con el denominador q significa hallar, entre todas las fracciones con el denominador q, aqeulla más próxima al número \alpha.‼🔥

Es decir, si se verifica que

    \[\frac{a}{b}<\alpha<\frac{a+1}{b}\]

elegiremos aquella que esté más cerca del número \alpha. Si resulta que \alpha se sitúa en el punto medio, en este caso (y sólo en este) hay dos soluciones diferentes.

Nada impide aproximar también de esta manera otros números racionales. Por ejemplo:

    \[\frac{426}{1253}\approx\frac{17}{50}\]

Es una buena aproximación de la primera fracción con un denominador b=50.

La ventaja de una fracción continua es que, nos va a proporcionar la mejor aproximación para un denominador dado. Pero para entender esto debes seguir leyendo.😉

Desarrollo de un número real en fracción continua

Lo primero es establecer entre qué dos números naturales se encuentra un número real dado. Por ejemplo:

Natural menorRealNatural mayorParte decimal
3\pi=3.14159265\ldots43+x; \ (0<x<1)
1\sqrt{2}21+y; \ (0<y<1)
2e=2.71828182\ldots32+z; \ (0<z<1)
Ejemplos de algunos intervalos donde se encuentran diversos números irracionales. En la columna parte decimal represento el número que es necesario aproximar mediante fracción continua.

Vamos a ir construyendo una fracción continua con el número \displaystyle \frac{37}{27}. En un primer momento podemos decir «más de uno». Vale, pero ¿cuánto más?

  • \displaystyle \frac{37}{27}=1.370\color{green!60!black}3703703703703703703703703703703703703703703703703703703703703…
  • Este es el número que vamos a estudiar, te he representado la repetición del periodo en dos colores para que sea fácil localizar lo que vamos a ir haciendo.
  • \displaystyle \frac{37}{27}=1+\frac{1}{x_1}
  • Si recuerdas la fórmula de la división entera (Dividendo D, divisor d, cociente c y resto r) donde D=d\cdot c+r Podemos decir que

        \[37=27\cdot 1+10\quad \Longrightarrow \frac{37}{27}=1+\frac{10}{27}=1+\frac{1}{\displaystyle\frac{27}{10}}\]

  • Y ahora trabajamos sobre la fracción \displaystyle \frac{27}{10}=2+\frac{1}{\displaystyle \frac{10}{7}} y así obtenemos:

        \[\frac{37}{27}=1+\frac{10}{27}=1+\frac{1}{\displaystyle \frac{27}{10}}=1+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle \frac{10}{7}}}=\cdots = 1+\frac{1}{\displaystyle 2+ \frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{3}} }}}\]

Así ya has desarrollado tu primera fracción continua que la vamos a expresar así (ten cuidado con el «;» pues separa la parte entera de la parte decimal del número):

    \[\left[a_0{\color{red};} a_1, a_2,a_3\cdots,a_n\right]%\ \longrightarrow\ \frac{37}{27}=[1{\color{red};}2,1,2,3]\]

Ten en cuenta que a_0 es la parte entera y por eso lo separo con punto y coma (;) en lugar de una simple coma(,). Cada uno de los a_i se denominan elementos de la fracción continua. ¿De qué fracción continua? de una como esta:

    \[a_0+\frac{1}{\displaystyle a_1+ \frac{1}{\displaystyle a_2+\frac{1}{\displaystylea_3+\frac{1}{\displaystyle \ddots\frac{1}{a_n}}}}}\]

Esta representación entre corchetes te permite representar cualquier fracción continua, por voluminosa que sea. ¿Y qué entiendo por voluminosa? Fíjate en lo que hemos calculado: ¿cuántos pisos tiene la fracción? Tiene 5 pisos. Ahora imagínate que, en tus cuentas te percatas que tu fracción tiene 20 o 30 pisos (y no son tantos pisos, sólo tienes que llegar a calcular a_{20} o a_{30}); no te cabría en la hoja de papel, así que es una buena idea tener una representación alternativa de la fracción que nos permita aprovechar todo el espacio del que disponemos para escribir.

En nuestro caso la fracción continua queda de la siguiente manera \displaystyle \frac{37}{27}=\left[1; 2,1,2,3\right]

Es muy interesante que sepas que el desarrollo en fracción continua de un número racional es finito (se acaba en algún momento por muchos pisos que tenga). Esto se debe al algoritmo de Euclides de la división, del que te he hablado un poco en esta entrada. Para el caso de números irracionales la fracción continua es infinita, aunque pueden aparecer regularidades.

¿Qué pasa si el número es negativo?

Esta pregunta tiene una respuesta muy sencilla. La fracción continua será la misma pero con un singo menos delante. Es decir, vamos a poner en fracción continua el número \displaystyle -\frac{37}{27}

    \[-\frac{37}{27}=\displaystyle -\left(1+\frac{10}{27}\right)=-\left(1+\frac{1}{\displaystyle \frac{27}{10}}\right)=\cdots = -\left(1+\frac{1}{\displaystyle 2+ \frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{3}} }}}\right)\]

Creo que ya empiezas a ver la utilidad de respresentarlo todo entre corchetes, pero observa que ahora hay un número que cambia. ¿Sabrías explicar por qué? Déjalo en comentarios:

    \[-\frac{37}{27}=[-{\color{red}2}; 2,1,2,3]\]

¿Qué pasa si el número es irracional?

En principio el desarrollo en fracción continua implicaría un número infinito de interacciones. Aunque aquí también pueden aparecer periodicidades, como te he dicho hace poco.

Por ejemplo, vamos a desarrollar \sqrt{2} en forma de fracción continua:

    \[\sqrt{2}=1+\frac{1}{x_1}=1+\frac{1}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}}\]

Y si operamos en la última fracción tenemos que (acuérdate de como se racionalizaba):

    \[\frac{1}{\sqrt{2}-1}\cdot {\color{blue}\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}}=\sqrt{2}+1\]

Y ahora una pregunta ¿Cuánto es \sqrt{2}+1? Exacto:

    \[\sqrt{2}+1=2+\frac{1}{x_1}\]

O lo que es lo mismo, hemos llegado a un bucle. Hagas lo que hagas ahora siempre te va a salir lo mismo. Has encontrado un periodo para el desarrollo de esta fracción continua. Te debo decir que sólo los números irracionales cuadráticos poseen fracciones continuas periódicas (las raíces, vaya! 🤷).

    \[\sqrt{2}=1+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2 +\frac{1}{\displaystyle  \ddots }}}}}\]

De esta manera la fracción continua que desarrolla el número irracional \sqrt{2}~ es:

    \[\sqrt{2}=[1;2,2,\ldots]=[1; \bar{2}]\]

Todo esto está muy bien, pero ¿para qué quiero una fracción continua?

Pues todo esto está muy bien, porque en la práctica nadie puede operar con números irracionales. Nadie (incluidos los ordenadores y por supuesto, la calculadora que usas en la escuela) puede manejar el auténtico número \sqrt{2} o bien \pi o bien e o… bueno cualquier número irracional que se te ocurra.

¿Por qué?, porque tienen todos infinitas cifras decimales y necesitarías una capacidad de memoria infinita para almacenarlas todas.

Así que lo que necesitas es aproximar ese número irracional con uno que sea racional y sea la mejor aproximación de todas. Y de esto es de lo que nos vamos a ocupar en este apartado.

De momento, espero que comprendas que las siguientes fracciones son aproximaciones cada vez mejores del número \pi

FracciónError con respecto a \pi (valor absoluto)

    \[\frac{22}{7}\]

0.00126\ldots<0.01 |E|<10^{-2}

    \[\frac{333}{106}\]

0.00008\ldots<0.01 |E|<10^{-4}

    \[\frac{355}{113}\]

|E|=2.6710^{-7}<10^{-7}

    \[\frac{1039993}{33102}\]

|E|=5.78\cdot 10^{-10}<10^{-10}

    \[\frac{104348}{33215}\]

|E|=3.32\cdot 10^{-10}<10^{-10}
Distintas aproximaciones de \pi mediante números racionales.

Pero, ¿cómo has conseguido estas fracciones? Sencillo:

  • El desarrollo en fracción continua del número \pi es: \pi=[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, \ldots] Así que vamos a hacer unas cuantas cuentas:
  • \displaystyle \pi\approx 3+\frac{1}{7}=\frac{22}{7}
  • \displaystyle \pi\approx 3+\frac{1}{\displaystyle 7+\frac{a}{b}}=\frac{333}{106}
  • \displaystyle \pi\approx 3+\frac{1}{\displaystyle 15+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{a}{b} }}=\frac{355}{113}
  • \displaystyle \pi\approx 3+\frac{1}{\displaystyle 15+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 292+\frac{a}{b} }}}=\frac{103993}{33102}
  • \displaystyle \pi\approx 3+\frac{1}{\displaystyle 15+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 292+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{a}{b}} }}}=\frac{104348}{33215}

Fracción continua congruente

En todas estas fracciones continuas, de la lista anterior, al final, te he puesto una fracción genérica \displaystyle \frac{a}{b} para indicarte que la fracción continúa. Pero lo verdaderamente importante es que si reduces cada uno de los castillos de fracciones anteriores a una única fracción consigues las que te he puesto al final. Cada una de estas fracciones equivalentes se denomina fracción congruente.

Es decir, que llamamos fracción congruente n-ésima a una fraccción \displaystyle \frac{p_n}{q_n} tal que:

Es decir, que llamamos fracción congruente n-ésima a una fraccción \displaystyle \frac{p_n}{q_n} tal que:

    \[\frac{p_n}{q_n}=a_0+\frac{1}{\displaystyle a_1+ \frac{1}{\displaystyle a_2+\frac{1}{\displaystyle a_3+\frac{1}{\displaystyle \ddots\frac{1}{a_n}}}}}\]

O lo que es lo mismo, a una fracción con un número en el numerador y otro en el denominador, que es el resultado de eliminar los elementos de la fracción continua más allá de aquel de grado n.

Si tienes una fracción continua infinita las diferentes fracciones congruentes van a suponer aproximaciones al número que la genera. Lo has visto en la tabla anterior, donde las fracciones congruentes implicaban poco a poco una aproximación mejor del número \pi

Por otro lado si tienes una fracción continua finita, habrá una fracción congruente que será el número (racional en este caso) que estás desarrollando.

Y ahora una pregunta: ¿Qué números tienen fracciones continuas infinitas? Exacto, los irracionales, así que esto significa que podemos ir aproximando, cada vez mejor, un número irracional mediante el uso de números racionales (la idea principal de toda la entrada, ¡vaya!).

¿Hay alguna manera de obtener la fracción continua sin necesidad de realizar todas las cuentas que hemos estado haciendo hasta ahora? Sí. observa la siguiente secuencia:

    \[\frac{p_0}{q_0}=a_0\]

    \[\frac{p_1}{q_1}=a_0+\frac{1}{a_1}-\frac{a_0a_1-1}{a_1}\]

Para pasar hasta \displaystyle \frac{p_2}{q_2} necesitas hacer algunas transformaciones audaces pero al final obtienes:

    \[\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1a_2+p_0}{q_1a_2+q_0}\]

Y en general tenemos que

La n-ésima fracción congruente \displaystyle \frac{p_n}{q_} con n=2,3,\ldots,s es:

    \[\begin{aligned} p_n=&p_{n-1}a_n+p_{n-2}\\ q_n=&q_{n-1}a_n+q_{n-2}  \end{aligned}\]

Y estas fórmulas (recurrentes) se demuestran por inducción. Si quieres puedes dejarlo escrito en comentarios; no es una inducción fácil y yo no te lo haré aquí (las puedes encontrar en el libro de Beskin).

Aproximación de irracionales mediante una fracción continua

Ya estamos bastante avanzados en esta entrada. Sé que me he dejado algunas demostraciones por el camino, pero no es el espíritu de este blog demostrar si no mostrar cuestiones más o menos curiosas de matemáticas.

Lo que debes tener en cuenta es que según avanzamos por las fracciones congruentes (es decir, según vamos obteniendo órdenes cada vez mayores) tanto el numerador como el denominador van creciendo:

    \[\begin{aligned}p_0&<p_1<p_2<\cdots<p_k\\q_0&<q_1<q_2<\cdots<q_k\end{aligned}\]

Hay más propiedades que debes tener en cuenta con respecto a las fracciones congruentes. Te las doy sin demostrar, si quieres ver su demostración, puedes consultarlas en los libros de Beskin y Aubanell:

  • Cada fracción de orden impar es mayor que las fracciones de orden par vecinas. Esto es:

        \[\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}>\frac{p_{2k}}{q_{2k}}\quad \text{y} \qquad \frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}>\frac{p_{2k+2}}{q_{2k+2}}\]


        \[\frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2k-1}}{q_{2k-1}}\quad \text{y} \qquad \frac{p_{2k}}{q_{2k}}>\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}\]

  • La diferencia (\Delta_n) entre dos fracciones congruentes consecutivas decrece en valor absoluto. Esto es:
    Si \displaystyle \Delta_n=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}}-\frac{p_n}{q_n} entoneces:

        \[|\Delta_1|>|\Delta_2|>|\Delta_3|>\cdots>|\Delta_k|\]

  • El valor exacto de una fracción congruente está comprendido entre las dos fracciones congruentes vecinas. Esto es:

        \[\frac{p_{k-1}}{q_{k-1}}<\frac{p_k}{q_k}<\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}\]

  • Por todo lo anterior, todas las fracciones congruentes de \alpha\in \mathbb{R} de índice par son aproximaciones por defecto de \alpha mientras que las de índice impar son aproximaciones por exceso. De forma abreviada:

        \[\frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\alpha<\frac{p_{2j+1}}{q_{2j+1}}\]

  • El error absoluto cometido al sustituir un número \alpha por la fracción congruente \displaystyle \frac{p_n}{q_n} es:

        \[|E|=\left|\alpha-\frac{p_n}{q_n}\right| <\frac{1}{q_n\cdot q_{n+1}}<\frac{1}{q_n^2}\]

  • Todas las fracciones congruentes son irreducibles.

Y ahora intenta recordar cuando te explicaron en clase de análisis las sucesiones de Cauchy, el axioma del supremo, la construcción de los números reales mediante sucesiones y dos teoremas que te decían:

  • Una sucesión monótona y acotada ¿posee?… EXACTO, posee límite (estamos trabajando en \mathbb{R} te recuerdo).
  • Si dos subsucesiones de una sucesión dada poseen el mismo límite, entonces esa sucesión posee límite y es ése.

Pues lo que hemos conseguido es precisamente una sucesión (la de las fracciones congruentes) y tal que:

  1. La subsucesión de índice par, está acotada superiormente por cualquier elemento de la subsuscesión de ínidice impar; y a la inversa, la subsucesión de índice impar, está acotada inferiormente por cualquier elemento de la subsucesión de índice par.
  2. Ambas subsucesiones son monótonas.
  3. Se trata de una sucesión de Cauchy, y como estamos trabajando en \mathbb{R} posee límite y es real.
  4. ¿Cuál es ese límite? Pues el número \alpha.

Todo esto lo podías haber conseguido también con los intervalos encajados de Cantor. Es lo que hace Beskin en su libro, échale un vistazo 👁

Además, por todo lo anterior, se puede deducir que para un número real \alpha (racional o irracional), la fracción congruente de denominador q_k representa la mejor aproximación de \alpha a través de un número racional cuyo denominador sea, precisamente, q_k o menor.

Así las aproximaciones que te di anteriormente de \pi representan las mejores aproximaciones de éste mediante números racionales.

¿Me puedes dar algún otro ejemplo de fracción continua, porfa?

Algunos ejemplos, de los más famosos,de números escritos en forma de fracción continua son \sqrt{2}, \ \displaystyle \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} y \pi. Como ya hemos estado hablando del desarrollo de \sqrt{2} y de \pi voy a centrarme en \phi:

Empiezo por definirte qué es \phi. Imagina dos segmentos de longitud a y b, y tal que a>b ambos segmentos suman a+b de longitud. Pues bien se dice que ambos segmentos están en proporción o razón áurea cuando se verifica que

    \[\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\]

Hacemos un poquitín de cuentas y llegamos a que:

    \[\frac{a}{b}=1+\frac{1}{\displaystyle \frac{a}{b}}\]

Vamos a hacer el siguiente cambio de variable \displaystyle \phi=\frac{a}{b} y tenemos:

    \[\phi=1+\frac{1}{\phi}\]

Y si piensas un poco, éste es el germen de la fracción continua que desarrolla \phi sin más que sustituirlo recurrentemente:

    \[\phi =1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\displaystyle 1 + \ddots }}}}\]

Dos curiosidades sobre este número:

  • Es posiblemente la fracción continua más simple: sólo son unos: \phi=[1; 1, 1,1,1,1,1\ldots]
  • Es, de todas las fracciones continuas, la que converge más lentamente hacia su irracional. Por eso algunas veces se dice que \phi es el más irracional de todos los números. No es que haya números más o menos irracionales (o lo son o no lo son), si no que cuando lo representas en forma de fracción continua, tardas mucho más que con otro irracionales en llegar hasta \phi.

\phi es un número que está en muchos lugares, te dejo un vídeo de mi canal de youtube donde puedes ver cómo encontrar a \phi en una razón trigonométrica.

Podríamos seguir contando cosas del número \phi y de \sqrt{2} y \pi. Y por supuesto podríamos seguir hablando de fracciones continuas. Pero creo que lo vamos a dejar aquí…

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▶ Gracias por leerme âœ…

Bibliografía

  • Beskin, N.; 1980; Fracciones maravillosas; Ed. MIR, colección: «Lecciones populares de matemáticas»; Moscú.
  • Pérez, S. A.; 2020; Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos; TRABAJO MONOGRÁFICO Para optar el Título de Licenciado en Matemática pura ; Universidad mayor nacional de san Marcos; Perú; Consultado aquí [2020-12-27]
  • Rosen, K. H.; 2004; Matemática discreta y sus aplicaciones; McGraw Hill; Madrid.

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