🚩 📋 Examen 3ESO. Curso 20-21 (1/1EV) 🎖

En esta entrada te voy a resolver el primer examen de la primera evaluación que realicé en en curso 2020-21 para 3ESO. Al final de cada una de las preguntas te dejo un vídeo donde te resuelvo el ejercicio en cuestión, pero si lo que deseas es ver una lista de reproducción con todos los vídeos de exámenes de 3ESO puedes pinchar aquí:

Espero que te sirva y si quieres no perderte ninguna entrada de las que publique deja tu correo más abajo 👍

Pregunta 1. Ordenar fracciones.

Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:

    \[\frac{7}{12};\, -\frac{5}{8};\, \frac{9}{16}\]

Lo primero que debes darte cuenta es de que una de ellas es negativa y las otras dos son positivas. Así que ya sabes cuál va a ser la menor de todas: \displaystyle -\frac{5}{8}

Por lo que el problema queda reducido a ordenar dos fracciones positivas:

    \[\text{¿}\frac{7}{12}<\frac{9}{16}\text{?} \qquad \text{o}\qquad \text{¿}\frac{7}{12}>\frac{9}{16}\text{?}\]

Para resolver este paso, debemos hallar fracciones equivalentes a las anteriores pero que posean el mismo denominador. Como el mcm(12,16)=48 tenemos:

    \[\begin{aligned}\frac{7}{12}&=\frac{28}{48}\\\frac{9}{16}&=\frac{27}{48}\end{aligned}\]

Y ahora resulta que sí sabemos que 28>27, por lo que la ordenación de ambas fracciones es: \displaystyle \frac{9}{16}<\frac{7}{12}

Pero esa no es la solución, debemos ordenar las tres fracciones que nos han dado en el enunciado. Y esto es importante, a tu profe, que no te tiene manía, no le importa las fracciones equivalentes que has utilizado para resolver el problema: le importan las frracciónes que él te dio en el enunciado.

La solución, por tanto es:

    \[-\frac{5}{8}<\frac{9}{16}<\frac{7}{12}\]

A continuación te dejo un vídeo donde puedes ver la solución de este mismo problema.

Pregunta 2. Hallar una fracción generatriz.

Hallar la fracción generatriz de los siguientes números racionales.

    \[0.2304\qquad 1.090909\ldots\]

Ya sabes que para hallar la fracción generatriz de un número, el algoritmo es ligeramente diferente si se trata de un número decimal exacto (0.2304) o de un número decimal periódico puro (1.0909\ldots)

Cálculo de 0.2304

En este caso procedemos de la siguiente manera:

    \[\begin{aligned}1N&=0.2304\\10000N&=2304\end{aligned}\]

Nos fijamos en la segunda ecuación y la resolvemos, tal cual:

    \[10000N=2304\Longrightarrow N=\frac{2304}{10000}=\frac{144}{625}\]

Cálculo de 1.0909\ldots

Para resolver este apartado, debemos proceder de la siguiente manera:

    \[\begin{aligned}100N&=109&.0909\ldtos\\1N&=1&.0909\ldots\end{aligned}\]

Y si restamos ambas ecuaciones obtenemos que:

    \[99N=108\Longrightarrow N=\frac{108}{99}=\frac{12}{11}\]

Y con esto ya hemos resuelto ambos apartados del problema.

A continuación te dejo un vídeo donde puedes ver este mismo problema resuelto.

Pregunta 3. Aritmética de fracciones.

En este problema te piden que operes lo siguiente:

    \[\displaystyle \left(\frac{3}{4}+\frac{7}{6}-\frac{7}{8}\right)\cdot  \frac{25}{12}=\qquad \qquad \displaystyle \frac{ \displaystyle \left(\frac{2}{3}-\frac{5}{9}\right)\cdot\left(\frac{3}{4}-\frac{5}{6}\right) }{\displaystyle   \left(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}\right)\cdot \frac{4}{3} +1}-3 =\]

Mi experiencia me dice que estos castillos de fracciones pueden generar más miedo de lo que realmente son. Vamos a ir por partes:

Cálculo de\displaystyle \left(\frac{3}{4}+\frac{7}{6}-\frac{7}{8}\right)\cdot \frac{25}{12}=

Vamos a ir operando poco a poco:

    \[\displaystyle \left(\frac{3}{4}+\frac{7}{6}-\frac{7}{8}\right)\cdot  \frac{25}{12}= \left(\frac{18+28-21}{24}\right)\cdot\frac{25}{12}\]

En este primer paso he operado dentro del paréntesis, así que ahora podemos dejarlo todo preparado para multiplicar:

    \[= \frac{25}{24 }\cdot \frac{25}{12} =\fbox{$\color{blue}\displaystyle\frac{625}{288}$}\]

Y como en este caso la fracción es irreducible, el problema está acabado.

Cálculo de\displaystyle \frac{ \displaystyle \left(\frac{2}{3}-\frac{5}{9}\right)\cdot\left(\frac{3}{4}-\frac{5}{6}\right) }{\displaystyle \left(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}\right)\cdot \frac{4}{3} +1}-3 =

Cuidado con el -3 que hay al final, es un candidato perfecto a olvidarse en algún paso.

Lo que debemos hacer es ir operando poco a poco pero a la vez en el numerador y denominador de la fracción principal.

    \[\displaystyle \frac{                   \displaystyle\left(\frac{6-5}{9}\right)\cdot\left(\frac{9-10}{12}\right) }{                   \displaystyle \left(\frac{7-10}{12}\right)\cdot \frac{4}{3} +1 }-3\]

En este primer paso he ido operando un poco en el numerador y el denominador. El segundo paso a realizar es este:

    \[=\frac{ \displaystyle \frac{1}{ 9} \cdot \frac{-1}{ 12} }{ \displaystyle \frac{\color{red}-3}{\color{green!50!black} 12} \cdot \frac{\color{green!50!black}4}{\color{red} 3} +1 }-3=\]

Como ves el castillo de fracciones se va simplificando un poco (los números que te he coloreado se van a simplificar), pero aún queda trabajo por hacer:

    \[\frac{       \displaystyle \frac{-1}{108}    }{    \displaystyle   \frac{-1}{ 3} +1  }-3=\]

Como ves el problema se ha quedado muy bien. Vamos a rematar la faena:

    \[\frac{  \displaystyle \frac{-1}{108}    }{  \displaystyle   \frac{-1+3}{ 3}  }-3=\]

    \[\frac{  \displaystyle \frac{-1}{108}    }{  \displaystyle   \frac{2}{ 3}  }-3=\]

Ánimo que ya no queda nada:

    \[\frac{-1\cdot \color{red}3}{2\cdot \color{red} 108} -3  =  \frac{-1}{72}-3 =\color{blue}-\frac{217}{72}\]

Por lo que ya hemos resuelto ambos apartados.

Aquí tienes el vídeo con la resolución del ejercicio

Pregunta 4. Propiedades de las potencias y raíces

Utilizando las propiedades de las potencias y raíces, simplifica tanto como puedas las siguientes expresiones.

La resolución de este problema hace necesario que utilices (y bien) las propiedades de potencias y raíces que hemos estado viendo en clase. No te voy a poner explicaciones en prosa. Si necesitas alguna déjamelo en comentarios 👍

Cálculo de \displaystyle\sqrt{32}

    \[\sqrt{32}=\sqrt{2^5}=2^2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\]

Cálculo de \displaystyle\sqrt[3]{7^{10}\cdot 5^3\cdot 4}

    \[sqrt[3]{7^3\cdot 7^3\cdot 7^3\cdot 7\cdot 5^3\cdot 2^2}=7^3 \cdot 5\sqrt[3]{7\cdot 2^2}=1715sqrt[3]{28}\]

Este último paso no es necesario que lo realices. Probablemente a tu profe no le interesa saber cuánto es 7^3\cdot 5 si no si realmente sabes sacar factores primos de una raíz.

Cálculo de \displaystyle\sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[4]{2}

    \[\displaysytle \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[12]{7^4}\cdot \sqrt[12]{2^3}=\sqrt[12]{7^4\cdot 2^3}\]

Y por la misma razón que antes, esto es lo que espera ver tu profe. Sin embargo si quieres ponerlo en forma de número desarrollado:

    \[\sqrt[12]{7^4\cdot 2^3}=\sqrt[12]{19208}\]

Cálculo de \displaystyle \left[\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}\right]^{-3}

Este es un ejercicio para saber si cooces la propiedad de las potencias que dice «potencia de una potencia…» y esa otra que dice «potencia de una fracción…»

    \[\left[\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}\right]^{-3}=\left(\frac{5}{2}\right)^6=\frac{5^6}{2^6}=\frac{15625}{64}\]

Cálculo de \displaystyle \left(\frac{225}{324}\right)^{1/2}

Aquí además debes saber qué significa un exponente fraccionario y tener a la orden del día los cuadrados de los primeros veinte números naturales:

    \[\left(\frac{225}{324}\right)^{1/2}=\sqrt{\frac{225}{324}}=\frac{15}{18}=\frac{5}{6}\]

En este vídeo te resuelvo este ejercicio:

Pregunta 5. Ordenar números.

Este es un ejercicio un poco teórico, pero que me parece muy interesante:

Sabiendo que n>1 ordena, si es posible, los siguientes números:

    \[n; \,\,\, n^2; \, \,\,\, \sqrt[3]{n}; \,\,\, 1/n\]

El enunciado nos indica que n>1 y esa es la clave. Vamos a ir ordenandolo todo poco a poco:

  • n<n^2 y esto es debido a que n>1. Si 0<0<1 la desigualdad sería al revés.
  • n>\sqrt[3]{n} Esto lo puedes ver de dos maneras distintas:
    • Si elevas al cubo la desigualdad obtienes: n^3>n (porque n>1)
    • Puedes comprobar (para demostrarlo necesitas calcular un límite, que en 3ESO no se enseña) que según va aumentando el índice de la raíz, el resultado se va acercando más y más a la unidad, es decir: n>\sqrt[2]{n}>\sqrt[3]{n}>\cdots>1 Nunca llega a ser exactamente 1, pero se acerca tanto como quieras (y créeme, sin herramientas de análisis matemático, no se puede precisar más esta afirmación).
  • \displaystyle n>\frac{1}{n} Y vuelve a ser debido a que n>1. De hecho, puedes asegurar que \displaystyle \frac{1}{n}<1. Podemos restar ambos números y discutir el signo del resultado:

        \[n-\frac{1}{n}=\frac{n^2-1}{n}\]

    Pero como resulta que n^2>n>1 el signo de esta opreación es positivo:

        \[n-\frac{1}{n}>0\]

    lo que nos indica que \displaystyle n>\frac{1}{n}

Ya tenemos ordenados los resultados:

    \[\frac{1}{n}<1<\sqrt[3]{n}<n<n^2\]

Pregunta 6. Problema de llenado.

Una almazara posee dos prensas que vierten el aceite a un aljibe de decantación. La primera prensa llena el aljibe en 4 horas, mientras que la segunda lo hace en 6 horas. Asimismo un desagüe vacía el contenido de aceite en 3 horas. Si en un momento determinado, con el aljibe vacío, se abren los tres conductos:

  • ¿Se llenará el depósito?
  • En caso afirmativo, ¿Cuánto tardaría en llenarse el depósito?, ¿Y si el desagüe vacía el aljibe en 2 horas?

Este problema es un problema de llenado muy sencillo. Así que vamos a solucionarlo.

¿Se llenará el depósito?

Vamos a ver qué ocurre en una única hora:

  • La primera prensa llenará \displaystyle \frac{1}{4} del depósito.
  • La segunda prensa llenará \displaystyle \frac{|}{6} del depósito.
  • El desagüe vaciará \displaystyle \frac{1}{3} del depósito.

Por lo tanto en una hora:

    \[\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{12}\]

Esto significa que en la primera hora se habrá lleando \displaystyle \frac{1}{12} del depóstio.

Conclusión: SÍ se llena el aljibe.

¿En cuanto tiempo se llena?

Pues esta pregunta es muy fácil de resolver.

Si en la primera hora se habrá lleando \displaystyle \frac{1}{12} del depóstio, tardará 12horas en llenarse totalmente.

¿Si el desagüe vacía el aljibe en 2 horas?

En este caso la suma-resta de fracciones que debes realizar es:

    \[\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{12}\]

Lo cual significa que sale más aceite del que entra y por tanto NO se llena el aljibe.

Aquí tienes el vídeo de mi canal de YouTube donde te resuelve este ejercicio:

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